Seja
uma transformação linear dada por
Determine o núcleo de
e encontre uma base para este subespaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o núcleo da transformação linear
definida por
. Além disso, precisamos achar uma base para esse núcleo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear e como encontrar uma base para um subespaço.
Passo 2
Primeiro, o que é o núcleo de
? O núcleo é o conjunto de todos os vetores
em
que são enviados para o vetor zero pela transformação
. Matematicamente, isso significa:
Então, vamos resolver a equação:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da terceira equação,
, temos que
.
Da quarta equação,
, confirma o que já encontramos.
Da primeira equação,
, isso significa que
.
Da segunda equação,
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos expressar as variáveis em termos de
, já que
e
estão ligados a
, e
já sabemos que é zero.
Temos:
Então, podemos escrever qualquer vetor no núcleo de
da seguinte forma:
Passo 5
Isso mostra que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar de
. Portanto, o núcleo de
é o conjunto de todos os vetores da forma
, onde
é um número real.
Para encontrar uma base para esse núcleo, precisamos identificar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o núcleo. Nesse caso, como todos os vetores do núcleo são múltiplos de
, esse vetor sozinho já forma uma base.
Resposta
O núcleo de
é o conjunto
e uma base para esse subespaço é
.