Seja T: R^4 R^4 uma transformação linear dada por
T(x, y, z, w)=(x-w, y-w,-z, z)
Determine o núcleo de T e encontre uma base para este subespaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o núcleo da transformação linear T: R^4 R^4 definida por T(x, y, z, w) = (x-w, y-w, -z, z) . Além disso, precisamos achar uma base para esse núcleo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear e como encontrar uma base para um subespaço.

Passo 2

Primeiro, o que é o núcleo de T ? O núcleo é o conjunto de todos os vetores (x, y, z, w) em R^4 que são enviados para o vetor zero pela transformação T . Matematicamente, isso significa:
T(x, y, z, w) = (0, 0, 0, 0)
Então, vamos resolver a equação:
(x - w, y - w, -z, z) = (0, 0, 0, 0)
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. x - w = 0
  2. y - w = 0
  3. -z = 0
  4. z = 0

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da terceira equação, -z = 0 , temos que z = 0 .
Da quarta equação, z = 0 , confirma o que já encontramos.
Da primeira equação, x - w = 0 , isso significa que x = w .
Da segunda equação, y - w = 0 , ou seja, y = w .

Passo 4

Agora, vamos expressar as variáveis em termos de w , já que x e y estão ligados a w , e z já sabemos que é zero.
Temos:
x = w y = w z = 0 w = w
Então, podemos escrever qualquer vetor no núcleo de T da seguinte forma:
(x, y, z, w) = (w, w, 0, w) = w cdot (1, 1, 0, 1)

Passo 5

Isso mostra que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar de (1, 1, 0, 1) . Portanto, o núcleo de T é o conjunto de todos os vetores da forma w cdot (1, 1, 0, 1) , onde w é um número real.
Para encontrar uma base para esse núcleo, precisamos identificar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o núcleo. Nesse caso, como todos os vetores do núcleo são múltiplos de (1, 1, 0, 1) , esse vetor sozinho já forma uma base.

Resposta

O núcleo de T é o conjunto , w cdot (1, 1, 0, 1) mid w in R , e uma base para esse subespaço é , (1, 1, 0, 1) , .

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