Identifique e descreva as superfícies abaixo:
x^2+y^2-4 x-6 y-z+12=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2+y^2-4x-6y-z+12=0
e pede para identificar a superfície. Esse exercício envolve superfícies quádricas em R^3 e vamos completar quadrados para escrever na forma canônica.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e y e completamos quadrados:
x^2-4x = (x-2)^2-4, y^2-6y = (y-3)^2-9

Passo 3

Substituindo em x^2+y^2-4x-6y+12 obtemos
(x-2)^2-4 + (y-3)^2-9 + 12 = (x-2)^2 + (y-3)^2 -1
Assim a equação original vira
(x-2)^2 + (y-3)^2 -1 - z = 0 Long<=ftrightarrow z = (x-2)^2 + (y-3)^2 -1

Passo 4

A forma
z = (x-2)^2 + (y-3)^2 -1
é a equação padrão de um paraboloide elíptico com eixo paralelo ao eixo z. O vértice fica no ponto (2,3,-1) e, para cada valor fixo de z, a interseção com o plano z=const é uma circunferência de raio raizz+1 (quando z>= -1). A superfície abre-se para valores crescentes de z.

Resposta

Paraboloide elíptico com vértice em (2,3,-1), eixo paralelo ao eixo z, que se abre na direção dos z maiores.

Exercícios relacionados