Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x-y+2 z, x-4 z,-x-2 y-z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{11} vale:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x-y+2z,\; x-4z,\; -x-2y-z).
O que se pede é: determinar a matriz B que representa a inversa de T (ou seja, B=A^{-1} onde A é a matriz de T na base canônica) e, especificamente, informar o valor da entrada b_{11}.
Informações dadas importantes:
A regra de T aplicada a um vetor genérico (x,y,z) está explicitada.
Estamos na base canônica (não foi dito o contrário), então as colunas da matriz A são T(e_1),T(e_2),T(e_3).
Precisamos apenas de b_{11}, a entrada da primeira linha e primeira coluna de A^{-1}.
Passo 2
Primeiro passo prático: construir a matriz A de T na base canônica. Lembra: a i-ésima coluna de A é T(e_i), onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). Vou calcular cada imagem explicitamente (vai ser tranquilo).
Passo 3
Calcular T(e_1)=T(1,0,0). Substituindo em T(x,y,z):
Queremos B=A^{-1}. Vou usar o método de Gauss–Jordan para inverter A: monto a matriz aumentada [A\mid I] e realizo operações elementares até obter [I\mid A^{-1}]. Antes de começar, rápido lembrete didático: o objetivo do Gauss–Jordan é transformar a parte esquerda em I usando combinações lineares de linhas; essas mesmas combinações aplicadas à parte direita produzem A^{-1}.
Extraindo o que o enunciado pediu: a entrada b_{11} é a primeira linha, primeira coluna de A^{-1}, ou seja \;b_{11}=8. (Vai com confiança: a conta foi feita passo a passo por operações elementares.)