Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x-y+2 z, x-4 z,-x-2 y-z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{11} vale:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x-y+2z,\; x-4z,\; -x-2y-z).
O que se pede é: determinar a matriz B que representa a inversa de T (ou seja, B=A^{-1} onde A é a matriz de T na base canônica) e, especificamente, informar o valor da entrada b_{11}.
Informações dadas importantes:
  • A regra de T aplicada a um vetor genérico (x,y,z) está explicitada.
  • Estamos na base canônica (não foi dito o contrário), então as colunas da matriz A são T(e_1),T(e_2),T(e_3).
  • Precisamos apenas de b_{11}, a entrada da primeira linha e primeira coluna de A^{-1}.

Passo 2

Primeiro passo prático: construir a matriz A de T na base canônica. Lembra: a i-ésima coluna de A é T(e_i), onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). Vou calcular cada imagem explicitamente (vai ser tranquilo).

Passo 3

Calcular T(e_1)=T(1,0,0). Substituindo em T(x,y,z):
T(1,0,0)=(-1-0+2\cdot0,\; 1-4\cdot0,\; -1-2\cdot0-0)=(-1,\;1,\;-1).

Passo 4

Calcular T(e_2)=T(0,1,0). Substituindo:
T(0,1,0)=(-0-1+2\cdot0,\; 0-4\cdot0,\; -0-2\cdot1-0)=(-1,\;0,\;-2).

Passo 5

Calcular T(e_3)=T(0,0,1). Substituindo:
T(0,0,1)=(-0-0+2\cdot1,\; 0-4\cdot1,\; -0-2\cdot0-1)=(2,\;-4,\;-1).

Passo 6

Agora escrevo a matriz A com essas colunas (cada coluna é a imagem do correspondente e_i):
A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 0 & -4\\[4pt] -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}.
Chegamos aqui com números simples — tudo certo.]

Passo 7

Queremos B=A^{-1}. Vou usar o método de Gauss–Jordan para inverter A: monto a matriz aumentada [A\mid I] e realizo operações elementares até obter [I\mid A^{-1}]. Antes de começar, rápido lembrete didático: o objetivo do Gauss–Jordan é transformar a parte esquerda em I usando combinações lineares de linhas; essas mesmas combinações aplicadas à parte direita produzem A^{-1}.

Passo 8

Matriz aumentada inicial [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} -1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Para facilitar, troco a linha 1 com a linha 2 (obtenho um pivô 1 em cima):
Operação: R_1\leftrightarrow R_2.]

Passo 9

Após a troca R_1\leftrightarrow R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 10

Zerar os elementos abaixo do pivô da coluna 1 usando R_2:=R_2+R_1 e R_3:=R_3+R_1.
Calcule R_2+R_1: linha 2 passa a (0,\,-1,\,-2 \mid 1,\;1,\;0).
Calcule R_3+R_1: linha 3 passa a (0,\,-2,\,-5 \mid 0,\;1,\;1).
Logo a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -2 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -5 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 11

Tornar o pivô da segunda linha igual a 1: faço R_2:= -R_2. Assim
R_2=(0,\;1,\;2\mid -1,\;-1,\;0).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -5 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 12

Zerar os outros elementos da coluna 2. O que temos: em R_1 já há 0 na coluna 2, em R_3 -2. Faço R_3:=R_3+2R_2.
Calcule R_3+2R_2:
  • entradas esquerda: (0,\; -2+2\cdot1 =0,\; -5+2\cdot2 = -1).
  • entradas direita: (0,\;1,\;1) + 2\cdot(-1,-1,0) = (0-2,\;1-2,\;1+0)=(-2,\,-1,\;1).
A matriz passa a
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -2 & -1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 13

Pivô da terceira linha é -1. Faço R_3:= -R_3 para obter pivô 1. Assim
R_3=(0,\;0,\;1\mid 2,\;1,\;-1).
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & -1 \end{array}\right].]

Passo 14

Zerar os outros elementos na coluna 3 (usar o pivô da linha 3). Em R_1 temos -4 e em R_2 temos 2.
Faço R_1:=R_1+4R_3 e R_2:=R_2-2R_3.
Calcule R_1+4R_3:
  • esquerda: (1,0,-4)+(4\cdot(0,0,1))=(1,0,0).
  • direita: (0,1,0)+4\cdot(2,1,-1)=(0+8,\;1+4,\;0-4)=(8,\;5,\;-4).
Calcule R_2-2R_3:
  • esquerda: (0,1,2)-2\cdot(0,0,1)=(0,1,0).
  • direita: (-1,-1,0)-2\cdot(2,1,-1)=(-1-4,\,-1-2,\;0+2)=(-5,\,-3,\;2).
Após essas operações a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 8 & 5 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -5 & -3 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & -1 \end{array}\right].]

Passo 15

Terminamos: a parte esquerda é a identidade e a parte direita é A^{-1}. Assim
A^{-1}=\begin{pmatrix} 8 & 5 & -4\\[4pt] -5 & -3 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 16

Extraindo o que o enunciado pediu: a entrada b_{11} é a primeira linha, primeira coluna de A^{-1}, ou seja \;b_{11}=8. (Vai com confiança: a conta foi feita passo a passo por operações elementares.)

Resposta

(G) 8

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