Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-8,-1) e \vec{v}=(-6,-2). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(-3,-4) e [\vec{v}]_{\beta}=(4,2), então \vec{b}_{1} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para identificar \vec{b}_{1} entre as alternativas:
\vec{u}=(-8,-1),\qquad \vec{v}=(-6,-2)
As coordenadas desses vetores na base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} são
[\vec{u}]_{\beta}=(-3,-4),\qquad [\vec{v}]_{\beta}=(4,2).
O que o problema pergunta é: qual é a segunda componente de \vec{b}_{1} dentre as opções listadas (as alternativas mostram apenas a segunda componente, com a primeira como “ *” desconhecida)?

Passo 2

Vamos entender o que significam as coordenadas na base \beta. Se
[\vec{u}]_{\beta}=(-3,-4),
isso quer dizer que, na base \beta,
\vec{u} = -3\,\vec{b}_{1} -4\,\vec{b}_{2}.
Do mesmo modo, se
[\vec{v}]_{\beta}=(4,2),
então
\vec{v} = 4\,\vec{b}_{1} + 2\,\vec{b}_{2}.
Aqui eu usei diretamente as coordenadas dadas no enunciado para escrever \vec{u} e \vec{v} como combinações lineares das bases \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2}.

Passo 3

Agora substituímos os vetores \vec{u} e \vec{v} pelas suas componentes em \mathbb{R}^{2} (dados no enunciado). Assim obtemos duas equações vetoriais:
-3\,\vec{b}_{1} -4\,\vec{b}_{2} = (-8,-1),
4\,\vec{b}_{1} +2\,\vec{b}_{2} = (-6,-2).
Essas duas equações nos dão um sistema que permitirá encontrar as componentes de \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2}.

Passo 4

Escrevemos \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} em componentes: seja
\vec{b}_{1}=(a,b),\qquad \vec{b}_{2}=(c,d),
onde a,b,c,d são números reais desconhecidos (são as componentes dos vetores base no sistema canônico). Agora traduzimos as equações vetoriais em dois sistemas escalares (um para cada coordenada):
Pela primeira coordenada (x):
-3a -4c = -8 \tag{1}
4a +2c = -6 \tag{2}
Pela segunda coordenada (y):
-3b -4d = -1 \tag{3}
4b +2d = -2 \tag{4}

Passo 5

Resolvemos primeiro o sistema das componentes x (equações (1) e (2)) para achar a e c.
Pegamos (2):
4a +2c = -6.
Multiplicamos por 2 para facilitar eliminação:
8a +4c = -12.
Agora somamos com (1):
(-3a -4c) + (8a +4c) = -8 + (-12).
O lado esquerdo simplifica para 5a (pois -3a+8a=5a e -4c+4c=0). O lado direito é -20. Logo
5a = -20 \implies a = -4.
Substituindo a=-4 em (2):
4(-4) + 2c = -6 \implies -16 + 2c = -6 \implies 2c = 10 \implies c = 5.
Portanto as componentes x são a=-4 e c=5.

Passo 6

Agora resolvemos o sistema das componentes y (equações (3) e (4)) para achar b e d.
Pegamos (4):
4b +2d = -2.
Multiplicamos por 2:
8b +4d = -4.
Somamos com (3):
(-3b -4d) + (8b +4d) = -1 + (-4).
O lado esquerdo vira 5b. O lado direito é -5. Logo
5b = -5 \implies b = -1.
Se quiser, achamos também d substituindo b=-1 em (4):
4(-1) + 2d = -2 \implies -4 + 2d = -2 \implies 2d = 2 \implies d = 1.

Passo 7

Juntando as componentes encontradas, temos
\vec{b}_{1}=(a,b)=(-4,-1),
\vec{b}_{2}=(c,d)=(5,1).
O importante para escolher entre as alternativas é a segunda componente de \vec{b}_{1}, que é b=-1. Isso corresponde à alternativa cuja segunda entrada é -1.

Resposta

(D) \displaystyle \begin{pmatrix} * \\\\ -1 \end{pmatrix}

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