O que o problema pergunta é: qual é a segunda componente de \vec{b}_{1} dentre as opções listadas (as alternativas mostram apenas a segunda componente, com a primeira como “*” desconhecida)?
Passo 2
Vamos entender o que significam as coordenadas na base \beta. Se
[\vec{u}]_{\beta}=(-3,-4),
isso quer dizer que, na base \beta,
\vec{u} = -3\,\vec{b}_{1} -4\,\vec{b}_{2}.
Do mesmo modo, se
[\vec{v}]_{\beta}=(4,2),
então
\vec{v} = 4\,\vec{b}_{1} + 2\,\vec{b}_{2}.
Aqui eu usei diretamente as coordenadas dadas no enunciado para escrever \vec{u} e \vec{v} como combinações lineares das bases \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2}.
Passo 3
Agora substituímos os vetores \vec{u} e \vec{v} pelas suas componentes em \mathbb{R}^{2} (dados no enunciado). Assim obtemos duas equações vetoriais:
-3\,\vec{b}_{1} -4\,\vec{b}_{2} = (-8,-1),
4\,\vec{b}_{1} +2\,\vec{b}_{2} = (-6,-2).
Essas duas equações nos dão um sistema que permitirá encontrar as componentes de \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2}.
Passo 4
Escrevemos \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2} em componentes: seja
\vec{b}_{1}=(a,b),\qquad \vec{b}_{2}=(c,d),
onde a,b,c,d são números reais desconhecidos (são as componentes dos vetores base no sistema canônico). Agora traduzimos as equações vetoriais em dois sistemas escalares (um para cada coordenada):
Pela primeira coordenada (x):
-3a -4c = -8 \tag{1}
4a +2c = -6 \tag{2}
Pela segunda coordenada (y):
-3b -4d = -1 \tag{3}
4b +2d = -2 \tag{4}
Passo 5
Resolvemos primeiro o sistema das componentes x (equações (1) e (2)) para achar a e c.
Pegamos (2):
4a +2c = -6.
Multiplicamos por 2 para facilitar eliminação:
8a +4c = -12.
Agora somamos com (1):
(-3a -4c) + (8a +4c) = -8 + (-12).
O lado esquerdo simplifica para 5a (pois -3a+8a=5a e -4c+4c=0). O lado direito é -20. Logo
O importante para escolher entre as alternativas é a segunda componente de \vec{b}_{1}, que é b=-1. Isso corresponde à alternativa cuja segunda entrada é -1.