Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x-2 y-z,-2 x+5 y+z, 2 x-6 y+z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{13} vale:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x-2y-z,\; -2x+5y+z,\; 2x-6y+z).
Pede-se: determinar a matriz B que representa a inversa de T e, especificamente, o valor da entrada b_{13} (primeira linha, terceira coluna) da matriz B.
Informações relevantes fornecidas:
\text{A regra de }T\text{ é }T(x,y,z)=(x-2y-z,\;-2x+5y+z,\;2x-6y+z).
Não há outras informações externas; devemos trabalhar com a base canônica e encontrar A^{-1}, onde A é a matriz de T.
Passo 2
Construir a matriz A de T na base canônica: cada coluna de A é T(e_i), onde e_1=(1,0,0),\,e_2=(0,1,0),\,e_3=(0,0,1).
Calculemos:
Como \det(A)=1\neq0, A é invertível e A^{-1}=\operatorname{adj}(A) (já que \det(A)=1).
Passo 4
Explicação do método usado: a inversa de uma matriz 3\times3 pode ser obtida por
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores. Cada cofator C_{ij} é dado por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, com M_{ij} sendo o menor obtido eliminando a linha i e coluna j. Já que \det(A)=1, basta calcular a matriz de cofatores e transpor.
Passo 5
Calculemos todos os menores e cofatores (mostrando as contas):
Linha 1: