Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x-2 y-z,-2 x+5 y+z, 2 x-6 y+z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{13} vale:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x-2y-z,\; -2x+5y+z,\; 2x-6y+z).
Pede-se: determinar a matriz B que representa a inversa de T e, especificamente, o valor da entrada b_{13} (primeira linha, terceira coluna) da matriz B.
Informações relevantes fornecidas:
\text{A regra de }T\text{ é }T(x,y,z)=(x-2y-z,\;-2x+5y+z,\;2x-6y+z).é
Não há outras informações externas; devemos trabalhar com a base canônica e encontrar A^{-1}, onde A é a matriz de T.

Passo 2

Construir a matriz A de T na base canônica: cada coluna de A é T(e_i), onde e_1=(1,0,0),\,e_2=(0,1,0),\,e_3=(0,0,1).
Calculemos:
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,-2,2),
T(e_2)=T(0,1,0)=(-2,5,-6),
T(e_3)=T(0,0,1)=(-1,1,1).
Portanto a matriz A é
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1\\[4pt] -2 & 5 & 1\\[4pt] 2 & -6 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Antes de inverter, verifiquemos que A é invertível calculando o determinante. Usamos desenvolvimento pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 1\\\\ -6 & 1\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\\\ 2 & 1\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 5\\\\ 2 & -6\end{pmatrix}.
Calculemos cada menor:
\det\begin{pmatrix}5 & 1\\\\ -6 & 1\end{pmatrix}=5\cdot1-1\cdot(-6)=5+6=11,
\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\\\ 2 & 1\end{pmatrix}=(-2)\cdot1-1\cdot2=-2-2=-4,
\det\begin{pmatrix}-2 & 5\\\\ 2 & -6\end{pmatrix}=(-2)\cdot(-6)-5\cdot2=12-10=2.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot11 -(-2)\cdot(-4) +(-1)\cdot2 = 11 - 8 - 2 = 1.
Como \det(A)=1\neq0, A é invertível e A^{-1}=\operatorname{adj}(A) (já que \det(A)=1).

Passo 4

Explicação do método usado: a inversa de uma matriz 3\times3 pode ser obtida por
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores. Cada cofator C_{ij} é dado por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, com M_{ij} sendo o menor obtido eliminando a linha i e coluna j. Já que \det(A)=1, basta calcular a matriz de cofatores e transpor.

Passo 5

Calculemos todos os menores e cofatores (mostrando as contas):
Linha 1:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}5 & 1\\\\ -6 & 1\end{pmatrix}=11,\qquad C_{11}= (+1)\cdot11=11,
M_{12}=\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\\\ 2 & 1\end{pmatrix}=-4,\qquad C_{12}=(-1)\cdot(-4)=4,
M_{13}=\det\begin{pmatrix}-2 & 5\\\\ 2 & -6\end{pmatrix}=2,\qquad C_{13}=(+1)\cdot2=2.
Linha 2:
M_{21}=\det\begin{pmatrix}-2 & -1\\\\ -6 & 1\end{pmatrix}=(-2)\cdot1-(-1)\cdot(-6)=-2-6=-8,\qquad C_{21}=(-1)\cdot(-8)=8,
M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\\ 2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot2=1+2=3,\qquad C_{22}=(+1)\cdot3=3,
M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & -2\\\\ 2 & -6\end{pmatrix}=1\cdot(-6)-(-2)\cdot2=-6+4=-2,\qquad C_{23}=(-1)\cdot(-2)=2.
Linha 3:
M_{31}=\det\begin{pmatrix}-2 & -1\\\\ 5 & 1\end{pmatrix}=(-2)\cdot1-(-1)\cdot5=-2+5=3,\qquad C_{31}=(+1)\cdot3=3,
M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\\ -2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot(-2)=1-2=-1,\qquad C_{32}=(-1)\cdot(-1)=1,
M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & -2\\\\ -2 & 5\end{pmatrix}=1\cdot5-(-2)\cdot(-2)=5-4=1,\qquad C_{33}=(+1)\cdot1=1.

Passo 6

Formamos a matriz dos cofatores C e então a adjunta (transposta):
C=\begin{pmatrix} 11 & 4 & 2\\[4pt] 8 & 3 & 2\\[4pt] 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix} 11 & 8 & 3\\[4pt] 4 & 3 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Como \det(A)=1, temos
A^{-1}=\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} 11 & 8 & 3\\[4pt] 4 & 3 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Dessa matriz, a entrada b_{13} (primeira linha, terceira coluna) é o número na posição (1,3): 3.]

Resposta

(G) 3

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