Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,1)=(2,-3,-2) e T(3,2)=(1,-3,1).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 com as informações
T(1,1)=(2,-3,-2)
e
T(3,2)=(1,-3,1).
Pede-se encontrar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix},
e, em particular, determinar o valor da entrada a_{21} da matriz A. Aqui as informações relevantes são apenas os dois vetores (1,1) e (3,2) e as imagens dadas por T.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 a matriz A em relação às bases canônicas tem suas colunas iguais às imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^2. Ou seja, se
e_1=\begin{bmatrix}1\\\ 0\end{bmatrix},\qquad e_2=\begin{bmatrix}0\\\ 1\end{bmatrix},
então
A=\begin{bmatrix}T(e_1) & T(e_2)\end{bmatrix},
onde T(e_1) e T(e_2) são vetores em \mathbb{R}^3 colocados como primeira e segunda coluna, respectivamente. Portanto precisamos calcular T(e_1) e T(e_2). Como só temos T aplicado a (1,1) e a (3,2), vamos expressar e_1 e e_2 como combinações lineares desses vetores e usar linearidade:
T(\alpha v_1+\beta v_2)=\alpha T(v_1)+\beta T(v_2).

Passo 3

Definimos v_1=\begin{bmatrix}1\\\ 1\end{bmatrix} e v_2=\begin{bmatrix}3\\\ 2\end{bmatrix}. Primeiro verificamos que v_1 e v_2 formam base de \mathbb{R}^2 (são linearmente independentes), calculando o determinante da matriz que tem v_1,v_2 como colunas:
\det\begin{bmatrix}1 & 3\\[4pt]1 & 2\end{bmatrix}=1\cdot 2 - 3\cdot 1 = -1\neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível e v_1,v_2 formam base. Assim podemos escrever e_1 e e_2 como combinações lineares de v_1 e v_2.]

Passo 4

Escrevemos e_1\) como combinação de \(v_1\) e \(v_2\): \[e_1 = a v_1 + b v_2,
ou seja
\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\end{bmatrix} = a\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\end{bmatrix} + b\begin{bmatrix}3\\[4pt]2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a+3b\\[4pt]a+2b\end{bmatrix}.
Isto gera o sistema linear
\begin{cases} a+3b = 1,\\[4pt] a+2b = 0. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos b=1\]. Substituindo em \(a+2b=0 vem a+2\cdot 1=0, logo a=-2. Portanto
e_1 = -2 v_1 + 1\cdot v_2.]

Passo 5

Usamos linearidade para obter T(e_1):
T(e_1)=T(-2 v_1 + 1\cdot v_2) = -2\,T(v_1) + 1\cdot T(v_2).
Sabendo que T(v_1)=T(1,1)=(2,-3,-2) e T(v_2)=T(3,2)=(1,-3,1), calculamos termo a termo:
-2\,T(v_1) = -2\cdot (2,-3,-2)=(-4,6,4),
1\cdot T(v_2) = (1,-3,1).
Somando:
T(e_1)=(-4,6,4)+(1,-3,1)=(-3,3,5).
Assim a primeira coluna de A é \begin{bmatrix}-3\\[4pt]3\\[4pt]5\end{bmatrix}.]

Passo 6

Agora escrevemos e_2\) como combinação de \(v_1\) e \(v_2\): \[e_2 = c v_1 + d v_2,
ou seja
\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c+3d\\[4pt]c+2d\end{bmatrix}.
Isto gera o sistema
\begin{cases} c+3d = 0,\\[4pt] c+2d = 1. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos d=-1\]. Substituindo \(d=-1 em c+3d=0 vem c+3(-1)=0, logo c=3. Portanto
e_2 = 3 v_1 - 1\cdot v_2.]

Passo 7

Usando linearidade para T(e_2):
T(e_2)=3\,T(v_1)-1\cdot T(v_2).
Calculando:
3\,T(v_1)=3\cdot(2,-3,-2)=(6,-9,-6),
-1\cdot T(v_2)=-(1,-3,1)=(-1,3,-1).
Somando:
T(e_2)=(6,-9,-6)+(-1,3,-1)=(5,-6,-7).
Assim a segunda coluna de A é \begin{bmatrix}5\\[4pt]-6\\[4pt]-7\end{bmatrix}. Portanto a matriz A (escrita por colunas) é
A=\begin{bmatrix}-3 & 5\\[4pt]3 & -6\\[4pt]5 & -7\end{bmatrix}.]

Resposta

(F) 3

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