Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,1)=(2,-3,-2) e T(3,2)=(1,-3,1).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 com as informações
T(1,1)=(2,-3,-2)
e
T(3,2)=(1,-3,1).
Pede-se encontrar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix},
e, em particular, determinar o valor da entrada a_{21} da matriz A. Aqui as informações relevantes são apenas os dois vetores (1,1) e (3,2) e as imagens dadas por T.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 a matriz A em relação às bases canônicas tem suas colunas iguais às imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^2. Ou seja, se
onde T(e_1) e T(e_2) são vetores em \mathbb{R}^3 colocados como primeira e segunda coluna, respectivamente. Portanto precisamos calcular T(e_1) e T(e_2). Como só temos T aplicado a (1,1) e a (3,2), vamos expressar e_1 e e_2 como combinações lineares desses vetores e usar linearidade:
Definimos v_1=\begin{bmatrix}1\\\ 1\end{bmatrix} e v_2=\begin{bmatrix}3\\\ 2\end{bmatrix}. Primeiro verificamos que v_1 e v_2 formam base de \mathbb{R}^2 (são linearmente independentes), calculando o determinante da matriz que tem v_1,v_2 como colunas:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível e v_1,v_2 formam base. Assim podemos escrever e_1 e e_2 como combinações lineares de v_1 e v_2.]
Passo 4
Escrevemos e_1\) como combinação de \(v_1\) e \(v_2\):
\[e_1 = a v_1 + b v_2,