Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-6,8) e \vec{v}=(5,-7). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(-2,-4) e [\vec{v}]_{\beta}=(2,3), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 5\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede encontrar \vec{b}_{2} (ou pelo menos a sua segunda coordenada) sabendo que \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} é uma base de \mathbb{R}^{2} e que os vetores
\vec{u}=(-6,8),\qquad \vec{v}=(5,-7)
têm, na base \beta, as coordenadas
[\vec{u}]_{\beta}=(-2,-4),\qquad [\vec{v}]_{\beta}=(2,3).
Informações relevantes dadas:
\vec{u} \text{ e } \vec{v} \text{ (em coordenadas canônicas),}ô
[\vec{u}]_{\beta}=(-2,-4)\Rightarrow \vec{u}=-2\vec{b}_{1}-4\vec{b}_{2},
[\vec{v}]_{\beta}=(2,3)\Rightarrow \vec{v}=2\vec{b}_{1}+3\vec{b}_{2}.
A pergunta concreta: qual é a segunda coordenada de \vec{b}_{2} (entre as opções fornecidas), i.e., o valor do componente y de \vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}*\\\ y\end{pmatrix}.

Passo 2

Entendendo a relação entre coordenadas e combinação linear (mini-aula): dizer que [\vec{w}]_{\beta}=(c_{1},c_{2}) significa que
\vec{w}=c_{1}\vec{b}_{1}+c_{2}\vec{b}_{2}.
Aqui isso nos dá duas igualdades vetoriais:
\vec{u}=-2\vec{b}_{1}-4\vec{b}_{2},
\vec{v}=2\vec{b}_{1}+3\vec{b}_{2}.
Se escrevemos \vec{b}_{1}=(x_{1},y_{1}) e \vec{b}_{2}=(x_{2},y_{2}), cada igualdade vetorial corresponde a duas equações escalares (uma para a coordenada x, outra para a y). Vamos usar as equações das coordenadas y porque nelas está o y_{2} que é o que as opções variam.

Passo 3

Escrevendo as equações para as segundas coordenadas (componentes y):
Da igualdade \vec{u}=-2\vec{b}_{1}-4\vec{b}_{2} obtemos
-2y_{1}-4y_{2}=8.
Da igualdade \vec{v}=2\vec{b}_{1}+3\vec{b}_{2} obtemos
2y_{1}+3y_{2}=-7.
Explico: na primeira, a coordenada y de \vec{u} é 8; isso deve igualar a combinação -2\cdot y_{1}+(-4)\cdot y_{2}. Na segunda, a coordenada y de \vec{v} é -7; igualamos a 2y_{1}+3y_{2}.

Passo 4

Resolver o sistema linear em y_{1} e y_{2}. Primeiro, simplifico a primeira equação dividindo por -2:
y_{1}+2y_{2}=-4.
Isolo y_{1}:
y_{1}=-4-2y_{2}.
Agora substituo essa expressão na segunda equação 2y_{1}+3y_{2}=-7:
2(-4-2y_{2})+3y_{2}=-7.
Faço as contas passo a passo:
2(-4-2y_{2})=-8-4y_{2},
então
-8-4y_{2}+3y_{2}=-7.
Combino os termos em y_{2}:
-8 - y_{2} = -7.
Isolando y_{2}:
- y_{2} = -7 + 8 = 1 \quad\Rightarrow\quad y_{2} = -1.

Passo 5

Interpretação do resultado e escolha da alternativa: encontramos que a segunda coordenada de \vec{b}_{2} é y_{2}=-1. Comparando com as opções dadas, isso corresponde à alternativa (A), que mostra \vec{b}_{2}=\left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right].

Resposta

(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]

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