Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+y-2 z,-2 x+3 y-5 z, 2 x-y+2 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{23} vale:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x+y-2z,\;-2x+3y-5z,\;2x-y+2z).
Pede-se: determinar a matriz B que representa a inversa de T e, em particular, encontrar o valor da entrada b_{23} (linha 2, coluna 3). As alternativas fornecidas são (A)-6, (B)-5, \text{(C)}-4, (D)-3, (E)-2, (F)-1, (G)0, (H)1.
Passo 2
Primeiro transformamos o enunciado numa matriz. A ação de T sobre (x,y,z) é dada por multiplicação por uma matriz A (na base canônica), cujas linhas são os coeficientes das componentes de T. Assim
Queremos B=A^{-1} tal que A B = I, onde I é a matriz identidade 3\times3.]
Passo 3
Método escolhido: eliminação de Gauss-Jordan (matriz aumentada). Vou montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações de linha elementares até obter [I\mid A^{-1}]. Explicando brevemente: operações de linha são trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, ou somar múltiplos de uma linha a outra; elas preservam a solução e são usadas para transformar A em I. A matriz aumentada inicial é