Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+y-2 z,-2 x+3 y-5 z, 2 x-y+2 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{23} vale:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x+y-2z,\;-2x+3y-5z,\;2x-y+2z).
Pede-se: determinar a matriz B que representa a inversa de T e, em particular, encontrar o valor da entrada b_{23} (linha 2, coluna 3). As alternativas fornecidas são (A) -6, (B) -5, \text{(C)} -4, (D) -3, (E) -2, (F) -1, (G) 0, (H) 1.

Passo 2

Primeiro transformamos o enunciado numa matriz. A ação de T sobre (x,y,z) é dada por multiplicação por uma matriz A (na base canônica), cujas linhas são os coeficientes das componentes de T. Assim
A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & -2\\[4pt] -2 & 3 & -5\\[4pt] 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
Queremos B=A^{-1} tal que A B = I, onde I é a matriz identidade 3\times3.]

Passo 3

Método escolhido: eliminação de Gauss-Jordan (matriz aumentada). Vou montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações de linha elementares até obter [I\mid A^{-1}]. Explicando brevemente: operações de linha são trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, ou somar múltiplos de uma linha a outra; elas preservam a solução e são usadas para transformar A em I. A matriz aumentada inicial é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 3 & -5 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Primeira operação: simplificar a primeira linha multiplicando por -1 para ter pivô 1 em (1,1):
R_1 \leftarrow -R_1.
Isso dá
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 3 & -5 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Zerar as entradas abaixo do pivô na coluna 1:
  • R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1 (para eliminar o -2 em (2,1)),
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 (para eliminar o 2 em (3,1)).
Calculemos cada nova linha:
Para R_2:
R_2 = (-2,3,-5\mid 0,1,0) + 2\cdot(1,-1,2\mid -1,0,0) =(0,1,-1\mid -2,1,0).
Para R_3:
R_3 = (2,-1,2\mid 0,0,1) - 2\cdot(1,-1,2\mid -1,0,0) =(0,1,-2\mid 2,0,1).
Aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora usamos o pivô em (2,2), que já é 1. Vamos zerar a entrada em (3,2) e a entrada em (1,2).
  • Para zerar (3,2): R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
    Calcule:
    R_3=(0,1,-2\mid 2,0,1) - (0,1,-1\mid -2,1,0) = (0,0,-1\mid 4,-1,1).
  • Para zerar (1,2): R_1 \leftarrow R_1 + R_2.
    Calcule:
    R_1=(1,-1,2\mid -1,0,0) + (0,1,-1\mid -2,1,0) = (1,0,1\mid -3,1,0).
Aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & -3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 4 & -1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Pivô em (3,3) é -1. Tornamos esse pivô igual a 1 multiplicando a linha por -1:
R_3 \leftarrow -R_3,
o que dá
R_3=(0,0,1\mid -4,1,-1).
Agora eliminamos as entradas acima na coluna 3:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_3 (pois R_1 tem 1 em (1,3)),
  • R_2 \leftarrow R_2 + R_3 (pois R_2 tem -1 em (2,3)).
Calculemos:
Para R_1:
R_1=(1,0,1\mid -3,1,0) - (0,0,1\mid -4,1,-1) =(1,0,0\mid 1,0,1).
Para R_2:
R_2=(0,1,-1\mid -2,1,0) + (0,0,1\mid -4,1,-1) =(0,1,0\mid -6,2,-1).

Passo 8

Agora a parte esquerda já é a identidade, e a parte direita é A^{-1}. A matriz aumentada final é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -6 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & -1 \end{array}\right].
Portanto
A^{-1}=B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] -6 & 2 & -1\\[4pt] -4 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 9

A entrada pedida é b_{23}, isto é, elemento da linha 2 coluna 3 de B. Observando a matriz acima, temos b_{23}=-1. Isso corresponde à alternativa (F).

Resposta

(F) -1

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