Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,1)=(-2,-3,-2) e T(3,2)=(3,-1,2).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3
que satisfaz
T(1,1)=(-2,-3,-2), \quad T(3,2)=(3,-1,2).
Queremos achar a matriz A\in\mathbb{R}^{3\times2} tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Denotemos
A = \begin{pmatrix} a & b\\\ c & d\\\ e & f \end{pmatrix}.

Passo 2

Pela imagem de (1,1) temos
A\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+b\c+d\e+f\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ -3\\\ -2\end{pmatrix},
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a + b = -2, \quad c + d = -3, \quad e + f = -2.

Passo 3

Pela imagem de (3,2) temos
A\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a+2b\\\ 3c+2d\\\ 3e+2f\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix},
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3a + 2b = 3, \quad 3c + 2d = -1, \quad 3e + 2f = 2.

Passo 4

Resolvendo cada par:
Para (a,b)\): \[\begin{cases} a+b=-2,\\\\ 3a+2b=3 \end{cases} \implies a=7,\;b=-9.
Para (c,d)\]: \[\begin{cases} c+d=-3,\\\\ 3c+2d=-1 \end{cases} \implies c=5,\;d=-8.\] Para \((e,f):
\begin{cases} e+f=-2,\\\\ 3e+2f=2 \end{cases} \implies e=6,\;f=-8.

Passo 5

Assim a matriz é
A = \begin{pmatrix} 7 & -9\\\\ 5 & -8\\\\ 6 & -8 \end{pmatrix}.
A entrada a_{21} (segunda linha, primeira coluna) é c=5.

Resposta

B) 5

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