Determine uma transformação linear
com auto-cspaços
(autovalor 0 ) e
(autovalor 1 ).
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
cujo autovalor é
no autespaço
e é
no autespaço
A ideia é escolher uma base formada pelos vetores
,
e
, definir
como
no primeiro e
nos outros dois, e então achar a fórmula de
na base canônica.
Passo 2
Definimos os vetores
Em seguida, impomos
Assim garantimos que
pertence ao autespaço de valor próprio
e
ao de valor próprio
.
Passo 3
Para achar a fórmula de
Isso dá o sistema
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira:
e então
Passo 4
Como
T(a,u1+b,u2+c,u3)=b,u2 + c,u3 , temos
Calculando coordenada a coordenada:
Passo 5
Portanto,
T na base canônica é dada por
Em forma matricial, com respeito à base padrão,
Resposta
A transformação linear procurada é
cuja matriz na base canônica é