Determine uma transformação linear T: R^3 R^3 com auto-cspaços E0=t(1,0,1) mid t in R (autovalor 0 ) e E1=t(3,1,0)+s(2,0,1) mid s, t in R (autovalor 1 ).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T:R^3toR^3
cujo autovalor é 0 no autespaço
E0=t(1,0,1)mid tinR
e é 1 no autespaço
E1=s(3,1,0)+t(2,0,1)mid s,tinR
A ideia é escolher uma base formada pelos vetores (1,0,1), (3,1,0) e (2,0,1), definir T como 0 no primeiro e 1 nos outros dois, e então achar a fórmula de T na base canônica.

Passo 2

Definimos os vetores
u1=(1,0,1), u2=(3,1,0), u3=(2,0,1)
Em seguida, impomos
T(u1)=0cdot u1=(0,0,0), T(u2)=1cdot u2=(3,1,0), T(u3)=1cdot u3=(2,0,1)
Assim garantimos que u1 pertence ao autespaço de valor próprio 0 e u2,u3 ao de valor próprio 1.

Passo 3

Para achar a fórmula de
Isso dá o sistema
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira:
e então

Passo 4

Como T(a,u1+b,u2+c,u3)=b,u2 + c,u3, temos
T(x,y,z) = y,(3,1,0) ;+;(x - z -3y),(2,0,1)
Calculando coordenada a coordenada:
T(x,y,z) =l(3y +2(x - z -3y),;y + 0,;0cdot y + (x - z -3y)r) =(2x -3y -2z,;y,;x -3y -z)

Passo 5

Portanto, T na base canônica é dada por
T(x,y,z)=(2x -3y -2z,;y,;x -3y -z)
Em forma matricial, com respeito à base padrão,
[T] = 2 & -3 & -2 0 & 1 & 0 1 & -3 & -1

Resposta

A transformação linear procurada é
T(x,y,z)=(2x -3y -2z,;y,;x -3y -z),
cuja matriz na base canônica é
2 & -3 & -2 0 & 1 & 0 1 & -3 & -1

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