Considere a transformação linear .
A matriz é diagonalizável? Justifique. Caso seja, calcule matriz diagonal e matriz tal que .
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear definida por
e pergunta se a matriz de na base canônica é diagonalizável. Caso positivo, pede-se e tais que . Para resolver, vamos (1) escrever , (2) achar valores próprios e suas multiplicidades algébrica e geométrica, e (3) verificar se todas as multiplicidades geométricas somam 4.
Passo 2
Na base canônica , as colunas de são . Logo
Sendo triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal: -1,,1,,1,,-1. Portanto
lambda=-1 tem multiplicidade algébrica 2,
lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2.
Passo 3
Calculamos o espaço próprio de lambda=1 resolvendo (A-I)v=0. Tem-se
de dimensão geométrica 1, embora a multiplicidade algébrica seja 2.
Passo 4
Para lambda=-1 faria-se o mesmo e encontra-se que a dimensão do espaço próprio também é 1 (detalhes similares). Assim os espaços próprios de -1 e de 1 têm dimensões geométricas que somam 1+1=2<4.
Resposta
A matriz Anão é diagonalizável, pois a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores é menor que 4.