Considere a transformação linear T: R^4 R^4, T(x, y, z, t)=(-x+2 y+3 z+4 t, y+5 z+6 t, z+7 t,-t).
A matriz A é diagonalizável? Justifique. Caso seja, calcule matriz diagonal D e matriz P tal que D=P^-1 A P.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^4toR^4 definida por
T(x,y,z,t)=(-x+2y+3z+4t,;y+5z+6t,;z+7t,;-t),
e pergunta se a matriz A de T na base canônica é diagonalizável. Caso positivo, pede-se P e D tais que D=P^-1AP. Para resolver, vamos (1) escrever A, (2) achar valores próprios e suas multiplicidades algébrica e geométrica, e (3) verificar se todas as multiplicidades geométricas somam 4.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3,e4, as colunas de A são T(ej). Logo
A= -1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 5 & 6 0 & 0 & 1 & 7 0 & 0 & 0 & -1
Sendo triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal: -1,,1,,1,,-1. Portanto
  • lambda=-1 tem multiplicidade algébrica 2,
  • lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Calculamos o espaço próprio de lambda=1 resolvendo (A-I)v=0. Tem-se
A-I= -2 & 2 & 3 & 4 0 & 0 & 5 & 6 0 & 0 & 0 & 7 0 & 0 & 0 & -2 ,
para v=(x,y,z,t). As equações dão
7t=0implies t=0, 5z+6t=0implies z=0, -2x+2y=0implies x=y
Logo o espaço próprio de lambda=1 é
(s,s,0,0)mid sinR,
de dimensão geométrica 1, embora a multiplicidade algébrica seja 2.

Passo 4

Para lambda=-1 faria-se o mesmo e encontra-se que a dimensão do espaço próprio também é 1 (detalhes similares). Assim os espaços próprios de -1 e de 1 têm dimensões geométricas que somam 1+1=2<4.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável, pois a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores é menor que 4.

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