Delermine se as transformaçöes, abaixo, são transformações lineares.
T ; R^2 R^3, T(x, y)=(x+y, 2 x y, y-x)

Passo 1

O enunciado define Tcolon R^2 to R^3 por
T(x,y) = (x+y,,2xy,,y-x)
e nos pede verificar se T é transformação linear. Para isso, precisamos usar a definição de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Recordando que T é linear se e somente se, para todo (x,y),(x',y')inR^2 e todo escalar cinR, valem as propriedades
Tl((x,y)+(x',y')r) ;=; T(x,y) + T(x',y'),
Tl(c(x,y)r) ;=; c,T(x,y)

Passo 3

Testamos a condição de homogeneidade. Seja cinR. Então
Tl(c(x,y)r) = T(cx,,cy) = l(cx+cy,,2,(cx)(cy),,cy - cxr) = l(c(x+y),,2c^2,xy,,c(y-x)r),
enquanto
c,T(x,y) = c,(x+y,,2xy,,y-x) = l(c(x+y),,2c,xy,,c(y-x)r)

Passo 4

As segundas coordenadas são 2c^2,xy em T(c(x,y)) e 2c,xy em c,T(x,y). Como 2c^2,xy neq 2c,xy para valores gerais de c,x,y, conclui-se que
Tl(c(x,y)r);neq;c,T(x,y)
Portanto, a condição de homogeneidade falha e T não é linear.

Resposta

T não é transformação linear.

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