Considere a transformação linear T(x, y, z)=(x+y+z, x+y, x). Determine:
A transformação linear T^-1, caso exista.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear TcolonR^3toR^3 por
T(x,y,z) = (x+y+z,;x+y,;x)
O objetivo é verificar se T é invertível e, em caso positivo, encontrar T^-1. Para isso, vamos primeiro escrever a matriz de T na base canônica e calcular seu determinante.

Passo 2

A matriz de T em relação à base canônica é
A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0
Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores para matrizes 3times3, temos
det(A) =1cdot det1 & 0 0 & 0 -1cdot det1 & 0 1 & 0 +1cdot det1 & 1 1 & 0 =0 - 0 +(-1) =-1neq0
Como det(A)neq0, concluímos que T é invertível.

Passo 3

Para achar T^-1, chamemos de (u,v,w)=T(x,y,z). Então
u = x+y+z, v = x+y, w = x
Da terceira equação vem imediatamente
x = w
Substituindo em v = x+y, obtemos
y = v - w
E finalmente, substituindo x e y em u = x+y+z, dá
z = u - (x+y) = u - v

Passo 4

Assim, a inversa de T é a aplicação que leva
(u,v,w)mapsto (x,y,z) = (w,;v - w,;u - v)

Resposta

T^-1(x,y,z) = (,z,;y - z,;x - y,)

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