Sejam beta=(1,0),(0,1) e beta^prime=(1,-1),(0,2) bases ordenadas de R^2. Determine:
As matrizes mudança de base [I]beta^prime^beta,[I]beta^beta^prime.

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas de R^2:
beta=(1,0),(0,1) (base padrão) e beta'=(1,-1),(0,2).
Pede-se as matrizes de mudança de base
[I]beta'^beta (que leva coordenadas em beta' para coordenadas em beta) e
[I]beta^beta' (o inverso, de beta para beta').
Sabendo que as colunas de [I]beta'^beta são as coordenadas dos vetores de beta' na base beta, e que [I]beta^beta' é simplesmente a inversa de [I]beta'^beta, vamos calcular.

Passo 2

Coordenadas de (1,-1) e (0,2) na base padrão beta são, respectivamente, 1-1 e 02. Logo
[I]beta'^beta = 1 & 0 -1 & 2

Passo 3

Para obter [I]beta^beta' basta inverter
1 & 0-1 & 2.
O determinante é 1cdot2-0cdot(-1)=2, e pela fórmula da inversa de 2times2 temos
[I]beta^beta' =12 2 & 0 1 & 1 = 1 & 0 tfrac12 & tfrac12

Resposta

[I]beta'^beta = 1 & 0 -1 & 2 , [I]beta^beta' = 1 & 0 tfrac12 & tfrac12

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