Considere a transformação linear
tal que
a) Encontre o núcleo de
e exiba uma base para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear
que pega matrizes
e retorna outras matrizes
. A gente precisa encontrar o núcleo dessa transformação, que basicamente é o conjunto de todas as matrizes que, quando passadas pela transformação
, dão a matriz zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e bases de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo da transformação
. O núcleo, ou
, é o conjunto de todas as matrizes
que, quando aplicamos
, resultam na matriz zero
. Ou seja, queremos resolver a equação:
Passo 3
Vamos substituir a transformação
na equação acima:
Isso nos dá um sistema de equações:
-
-
-
(repete a segunda equação) -
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema passo a passo. Da equação 1, temos:
Da equação 4:
Substituindo
na equação
:
Então,
.
Passo 5
Agora, olhando para a equação 2:
Isso significa que
e
são iguais, mas podem ser qualquer número real.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos descrever as matrizes no núcleo de
. Sabemos que
,
e
. Então, qualquer matriz no núcleo tem a forma:
Onde
é um número real qualquer.
Passo 7
Para encontrar uma base para
, precisamos identificar matrizes que sejam “geradoras” desse espaço. No caso, todas as matrizes no núcleo são múltiplos escalares da matriz:
Então, a base para
é o conjunto que contém apenas essa matriz.
Resposta
O núcleo de
é o conjunto de todas as matrizes da forma
, onde
é um número real. Uma base para
é o conjunto
.