Considere a transformação linear L: M(2,2) M(2,2) tal que
L(ll a & b c & d )=(ll a+b & c-d c-d & b-a )
a) Encontre o núcleo de L e exiba uma base para Ker(L).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear que pega matrizes e retorna outras matrizes . A gente precisa encontrar o núcleo dessa transformação, que basicamente é o conjunto de todas as matrizes que, quando passadas pela transformação , dão a matriz zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e bases de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo da transformação a & b c & d . O núcleo, ou 0 & 0 0 & 0 , é o conjunto de todas as matrizes L( a & b c & d ) = 0 & 0 0 & 0 que, quando aplicamos , resultam na matriz zero . Ou seja, queremos resolver a equação:

Passo 3

Vamos substituir a transformação a + b & c - d c - d & b - a = 0 & 0 0 & 0 na equação acima:
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. (repete a segunda equação)

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema passo a passo. Da equação 1, temos:
a + b = 0 Rightarrow a = -b
Da equação 4:
b - a = 0 Rightarrow b = a
Substituindo b = -b Rightarrow 2b = 0 Rightarrow b = 0 na equação :
Então, .

Passo 5

Agora, olhando para a equação 2:
c - d = 0 Rightarrow c = d
Isso significa que e são iguais, mas podem ser qualquer número real.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos descrever as matrizes no núcleo de 0 & 0 c & c . Sabemos que , e . Então, qualquer matriz no núcleo tem a forma:
Onde é um número real qualquer.

Passo 7

Para encontrar uma base para 0 & 0 1 & 1 , precisamos identificar matrizes que sejam “geradoras” desse espaço. No caso, todas as matrizes no núcleo são múltiplos escalares da matriz:
Então, a base para é o conjunto que contém apenas essa matriz.

Resposta

O núcleo de 0 & 0 c & c é o conjunto de todas as matrizes da forma 0 & 0 1 & 1 , onde é um número real. Uma base para é o conjunto .

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