Seja
o conjunto dos polinômios com grau menor ou igual a 3, e
a) Mostre que
é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto
, que é todo mundo que faz polinômios de grau até 3. Temos também uma transformação
que pega um polinômio
desse conjunto e devolve a sua derivada
, que está em
(polinômios de grau até 2). O que precisamos fazer é mostrar que essa transformação
é linear. Para isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e ver se
cumpre essas regras.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer polinômios
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
- Adição:
- Escalonamento:
Vamos verificar se
que manda
para
satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Primeiro, vamos testar a propriedade da adição. Vamos pegar dois polinômios quaisquer
e
em
. Queremos ver se a derivada da soma
é igual à soma das derivadas
.
Sabemos que a derivada de uma soma de funções é igual à soma das derivadas. Ou seja:
Então, a propriedade da adição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade do escalonamento. Vamos pegar um polinômio
em
e um escalar
. Queremos ver se a derivada de
é igual a
vezes a derivada de
.
Sabemos que a derivada de uma constante vezes uma função é igual à constante vezes a derivada da função. Ou seja:
Então, a propriedade do escalonamento também está satisfeita.
Resposta
Como
satisfaz tanto a propriedade da adição quanto a do escalonamento, concluímos que
é uma transformação linear.