Seja P3 o conjunto dos polinômios com grau menor ou igual a 3, e
T: P3 P2 f f^prime (derivada)
a) Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto , que é todo mundo que faz polinômios de grau até 3. Temos também uma transformação que pega um polinômio desse conjunto e devolve a sua derivada , que está em (polinômios de grau até 2). O que precisamos fazer é mostrar que essa transformação é linear. Para isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e ver se cumpre essas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer polinômios e em e para qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Escalonamento:
Vamos verificar se que manda para satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Primeiro, vamos testar a propriedade da adição. Vamos pegar dois polinômios quaisquer T(f + g) = (f + g)' = f' + g' = T(f) + T(g) e em . Queremos ver se a derivada da soma é igual à soma das derivadas .
Sabemos que a derivada de uma soma de funções é igual à soma das derivadas. Ou seja:
Então, a propriedade da adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade do escalonamento. Vamos pegar um polinômio T(a cdot f) = (a cdot f)' = a cdot f' = a cdot T(f) em e um escalar . Queremos ver se a derivada de é igual a vezes a derivada de .
Sabemos que a derivada de uma constante vezes uma função é igual à constante vezes a derivada da função. Ou seja:
Então, a propriedade do escalonamento também está satisfeita.

Resposta

Como satisfaz tanto a propriedade da adição quanto a do escalonamento, concluímos que é uma transformação linear.

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