Seja r a reta paralela a reta s: x-3=y-12=z e que passa pela origem. Considere as sentenças:
  • O ponto Q=(2,4,5) pertence a reta r
  • A reta r é ortogonal a reta s:(1,2,1)+lambda(1,0,-1), lambda in R
  • A reta r está contida no plano pi: x-y+z=0
  • A reta r é paralela ao plano -2 x+y=1
    O número exato de sentenças corretas é:
    d) 4

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas: a reta definida por e a reta que é paralela a e passa pela origem. Precisamos analisar quatro afirmações sobre a reta e determinar quantas delas são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e planos, além de propriedades de paralelismo e ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta r(t) = t cdot ds = t(1, 2, 1) = (t, 2t, t) . A forma nos indica que os coeficientes diretores da reta são .
Como a reta é paralela a , ela terá o mesmo vetor diretor. Além disso, passa pela origem, então sua equação paramétrica é:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma das sentenças:
1. O ponto (2, 4, 5) = (t, 2t, t) pertence à reta t = 2 2t = 4 Rightarrow t = 2 t = 5 :
Para verificar se pertence a , substituímos as coordenadas de na equação paramétrica de :
Isso nos dá:
Aqui, temos um conflito porque precisa ser igual a 2 e a 5 ao mesmo tempo, o que não é possível. Portanto, não pertence à reta .
Conclusão: A primeira sentença é falsa.

Passo 4

2. A reta dr cdot ds' = (1)(1) + (2)(0) + (1)(-1) = 1 + 0 - 1 = 0 é ortogonal à reta :
Duas retas são ortogonais se seus vetores diretores são perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles é zero.
Vetor diretor de :
Vetor diretor da outra reta :
Calculamos o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, as retas são ortogonais.
Conclusão: A segunda sentença é verdadeira.

Passo 5

3. A reta x - y + z = t - 2t + t = 0 está contida no plano 0 = 0 :
Para verificar se está contida no plano , substituímos as coordenadas paramétricas de na equação do plano:
Para qualquer valor de , a equação é satisfeita:
Portanto, todos os pontos de pertencem ao plano .
Conclusão: A terceira sentença é verdadeira.

Passo 6

4. A reta n = (-2, 1, 0) é paralela ao plano dr cdot n = (1)(-2) + (2)(1) + (1)(0) = -2 + 2 + 0 = 0 :
Uma reta é paralela a um plano se o vetor diretor da reta é paralelo ao plano, ou seja, se não existe componente perpendicular ao plano.
Primeiro, encontramos o vetor normal do plano :
Agora, verificamos se o vetor diretor de , que é , é perpendicular ao vetor normal:
Como o produto escalar é zero, o vetor diretor de é perpendicular ao vetor normal do plano, o que significa que é paralelo ao plano.
Conclusão: A quarta sentença é verdadeira.

Resposta

O número exato de sentenças corretas é 3.

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