Seja
a reta paralela a reta
e que passa pela origem. Considere as sentenças:
- O ponto
pertence a reta
- A reta
é ortogonal a reta
- A reta
está contida no plano
- A reta
é paralela ao plano
O número exato de sentenças corretas é:
d) 4
O número exato de sentenças corretas é:
d) 4
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas: a reta
definida por
e a reta
que é paralela a
e passa pela origem. Precisamos analisar quatro afirmações sobre a reta
e determinar quantas delas são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e planos, além de propriedades de paralelismo e ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta
. A forma
nos indica que os coeficientes diretores da reta
são
.
Como a reta
é paralela a
, ela terá o mesmo vetor diretor. Além disso,
passa pela origem, então sua equação paramétrica é:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma das sentenças:
1. O ponto
pertence à reta
:
Para verificar se
pertence a
, substituímos as coordenadas de
na equação paramétrica de
:
Isso nos dá:
Aqui, temos um conflito porque
precisa ser igual a 2 e a 5 ao mesmo tempo, o que não é possível. Portanto,
não pertence à reta
.
Conclusão: A primeira sentença é falsa.
Passo 4
2. A reta
é ortogonal à reta
:
Duas retas são ortogonais se seus vetores diretores são perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles é zero.
Vetor diretor de
:
Vetor diretor da outra reta
:
Calculamos o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, as retas são ortogonais.
Conclusão: A segunda sentença é verdadeira.
Passo 5
3. A reta
está contida no plano
:
Para verificar se
está contida no plano
, substituímos as coordenadas paramétricas de
na equação do plano:
Para qualquer valor de
, a equação é satisfeita:
Portanto, todos os pontos de
pertencem ao plano
.
Conclusão: A terceira sentença é verdadeira.
Passo 6
4. A reta
é paralela ao plano
:
Uma reta é paralela a um plano se o vetor diretor da reta é paralelo ao plano, ou seja, se não existe componente perpendicular ao plano.
Primeiro, encontramos o vetor normal do plano
:
Agora, verificamos se o vetor diretor de
, que é
, é perpendicular ao vetor normal:
Como o produto escalar é zero, o vetor diretor de
é perpendicular ao vetor normal do plano, o que significa que
é paralelo ao plano.
Conclusão: A quarta sentença é verdadeira.
Resposta
O número exato de sentenças corretas é 3.