Considere a transformação linear L: M(2,2) M(2,2) tal que
L(ll a & b c & d )=(ll a+b & c-d c-d & b-a )
b) Qual a dimensão da imagem de L ? L é sobrejetora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Álgebra Linear sobre transformações lineares. A gente precisa descobrir qual a dimensão da imagem da transformação L que leva matrizes 2 times 2 para outras matrizes 2 times 2. Também precisamos saber se essa transformação é sobrejetora, ou seja, se ela consegue atingir qualquer matriz 2 times 2 no destino. Para resolver isso, vamos usar conceitos como imagem, dimensão e sobrejetividade de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a transformação L está fazendo. Ela pega uma matriz 2 times 2:
A = a & b c & d
E transforma essa matriz em outra matriz 2 times 2 seguindo a regra dada:
L(A) = a + b & c - d c - d & b - a

Passo 3

Agora, para encontrar a imagem de L, precisamos ver todas as matrizes que podemos obter aplicando L em qualquer matriz A. Vamos expressar as entradas da matriz resultante em termos das variáveis a, b, c, e d:
  • Primeira entrada: a + b
  • Segunda entrada: c - d
  • Terceira entrada: c - d
  • Quarta entrada: b - a
Então, qualquer matriz na imagem de L tem a forma:
a + b & c - d c - d & b - a

Passo 4

Vamos identificar os parâmetros livres nessa transformação. As variáveis a, b, c, e d podem ser escolhidas livremente, então vamos expressar a matriz da imagem em termos dessas variáveis:
a + b & c - d c - d & b - a = a 1 & 0 0 & -1 + b 1 & 0 0 & 1 + c 0 & 1 1 & 0 + d 0 & -1 -1 & 0
Isso mostra que a imagem de L é gerada por quatro matrizes:
1 & 0 0 & -1, 1 & 0 0 & 1, 0 & 1 1 & 0, 0 & -1 -1 & 0

Passo 5

Para encontrar a dimensão da imagem de L, precisamos verificar quantas dessas matrizes são linearmente independentes. Observando as matrizes, percebemos que a quarta matriz é uma combinação linear das outras:
0 & -1 -1 & 0 = -1 times 0 & 1 1 & 0
Ent��o, na verdade, temos apenas três matrizes linearmente independentes.

Passo 6

Como temos três matrizes linearmente independentes gerando a imagem de L, a dimensão da imagem de L é 3.

Passo 7

Agora, vamos verificar se L é sobrejetora. Para L ser sobrejetora, a imagem de L precisa cobrir todo o espaço M(2,2), que tem dimensão 4.
Como a dimensão da imagem de L é 3, que é menor que 4, isso significa que nem todas as matrizes 2 times 2 podem ser alcançadas por L. Portanto, L não é sobrejetora.

Resposta

A dimensão da imagem de L é 3 e L não é uma transformação sobrejetora.

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