Considere a transformação linear
tal que
b) Qual a dimensão da imagem de
? L é sobrejetora?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Álgebra Linear sobre transformações lineares. A gente precisa descobrir qual a dimensão da imagem da transformação
que leva matrizes
para outras matrizes
. Também precisamos saber se essa transformação é sobrejetora, ou seja, se ela consegue atingir qualquer matriz
no destino. Para resolver isso, vamos usar conceitos como imagem, dimensão e sobrejetividade de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a transformação
está fazendo. Ela pega uma matriz
:
E transforma essa matriz em outra matriz
seguindo a regra dada:
Passo 3
Agora, para encontrar a imagem de
, precisamos ver todas as matrizes que podemos obter aplicando
em qualquer matriz
. Vamos expressar as entradas da matriz resultante em termos das variáveis
,
,
, e
:
- Primeira entrada:
- Segunda entrada:
- Terceira entrada:
- Quarta entrada:
Então, qualquer matriz na imagem de
tem a forma:
Passo 4
Vamos identificar os parâmetros livres nessa transformação. As variáveis
,
,
, e
podem ser escolhidas livremente, então vamos expressar a matriz da imagem em termos dessas variáveis:
Isso mostra que a imagem de
é gerada por quatro matrizes:
Passo 5
Para encontrar a dimensão da imagem de
, precisamos verificar quantas dessas matrizes são linearmente independentes. Observando as matrizes, percebemos que a quarta matriz é uma combinação linear das outras:
Ent��o, na verdade, temos apenas três matrizes linearmente independentes.
Passo 6
Como temos três matrizes linearmente independentes gerando a imagem de
, a dimensão da imagem de
é 3.
Passo 7
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora. Para
ser sobrejetora, a imagem de
precisa cobrir todo o espaço
, que tem dimensão 4.
Como a dimensão da imagem de
é 3, que é menor que 4, isso significa que nem todas as matrizes
podem ser alcançadas por
. Portanto,
não é sobrejetora.
Resposta
A dimensão da imagem de
é
e
não é uma transformação sobrejetora.