Seja r a reta paralela a reta s: x-3=y-12=z e que passa pela origem. Considere as sentenças:
  • O ponto Q=(2,4,5) pertence a reta r
  • A reta r é ortogonal a reta s:(1,2,1)+lambda(1,0,-1), lambda in R
  • A reta r está contida no plano pi: x-y+z=0
  • A reta r é paralela ao plano -2 x+y=1
    O número exato de sentenças corretas é:
    b) 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente está trabalhando com retas no espaço tridimensional, especificamente retas paralelas e suas propriedades. Precisamos analisar algumas afirmações sobre uma reta que é paralela a outra reta e que passa pela origem. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como direção das retas, pontos que pertencem à reta, ortogonalidade entre retas, e relação entre retas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir uma equação paramétrica para a reta x - 3 = y - 12 = z . A reta r(t) = t cdot ds = t cdot (1, 2, 1) = (t, 2t, t) é dada por:
Isso significa que a reta passa pelo ponto e tem um vetor diretor . Já que é paralela a e passa pela origem , a equação paramétrica de fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar se o ponto (2, 4, 5) = (t, 2t, t) pertence à reta t = 2 2t = 4 t = 5 . Para isso, substituímos as coordenadas de na equação paramétrica de :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo:
  • Da primeira equação, .
  • Da segunda, está correto.
  • Da terceira, não coincide com .
Como não há um único valor de que satisfaça todas as equações, o ponto não pertence à reta . Portanto, a primeira afirmação está errada.

Passo 4

Vamos verificar se a reta (1, 2, 1) + lambda (1, 0, -1), lambda in R é ortogonal à reta dr cdot ds' = (1)(1) + (2)(0) + (1)(-1) = 1 + 0 - 1 = 0 dada por:
O vetor diretor dessa reta é . Duas retas são ortogonais se o produto escalar de seus vetores diretores for zero. Vamos calcular o produto escalar entre e :
Como o produto escalar é zero, as retas são ortogonais. Logo, a segunda afirmação está certa.

Passo 5

Vamos verificar se a reta t - 2t + t = 0 0 = 0 está contida no plano . Para isso, qualquer ponto de deve satisfazer a equação do plano. A equação paramétrica de é . Substituindo na equação do plano:
A igualdade é sempre verdadeira, o que significa que todos os pontos de pertencem ao plano . Portanto, a terceira afirmação está certa.

Passo 6

Por último, vamos verificar se a reta dr cdot n = (1)(-2) + (2)(1) + (1)(0) = -2 + 2 + 0 = 0 é paralela ao plano . Para isso, precisamos ver se o vetor diretor de é perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor diretor de é e o vetor normal do plano é .
Calculamos o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, o vetor diretor de é perpendicular ao vetor normal do plano, o que significa que a reta é paralela ao plano. Portanto, a quarta afirmação está certa.

Resposta

O número exato de sentenças corretas é 3.

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