Seja a reta paralela a reta e que passa pela origem. Considere as sentenças:
O ponto pertence a reta
A reta é ortogonal a reta
A reta está contida no plano
A reta é paralela ao plano
O número exato de sentenças corretas é:
b) 2
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente está trabalhando com retas no espaço tridimensional, especificamente retas paralelas e suas propriedades. Precisamos analisar algumas afirmações sobre uma reta que é paralela a outra reta e que passa pela origem. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como direção das retas, pontos que pertencem à reta, ortogonalidade entre retas, e relação entre retas e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir uma equação paramétrica para a reta . A reta é dada por:
Isso significa que a reta passa pelo ponto e tem um vetor diretor . Já que é paralela a e passa pela origem , a equação paramétrica de fica:
Passo 3
Agora, vamos verificar se o ponto pertence à reta . Para isso, substituímos as coordenadas de na equação paramétrica de :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo:
Da primeira equação, .
Da segunda, está correto.
Da terceira, não coincide com .
Como não há um único valor de que satisfaça todas as equações, o ponto não pertence à reta . Portanto, a primeira afirmação está errada.
Passo 4
Vamos verificar se a reta (1, 2, 1) + lambda (1, 0, -1), lambda in R é ortogonal à reta dr cdot ds' = (1)(1) + (2)(0) + (1)(-1) = 1 + 0 - 1 = 0 dada por:
O vetor diretor dessa reta é . Duas retas são ortogonais se o produto escalar de seus vetores diretores for zero. Vamos calcular o produto escalar entre e :
Como o produto escalar é zero, as retas são ortogonais. Logo, a segunda afirmação está certa.
Passo 5
Vamos verificar se a reta t - 2t + t = 0 0 = 0 está contida no plano . Para isso, qualquer ponto de deve satisfazer a equação do plano. A equação paramétrica de é . Substituindo na equação do plano:
A igualdade é sempre verdadeira, o que significa que todos os pontos de pertencem ao plano . Portanto, a terceira afirmação está certa.
Passo 6
Por último, vamos verificar se a reta dr cdot n = (1)(-2) + (2)(1) + (1)(0) = -2 + 2 + 0 = 0 é paralela ao plano . Para isso, precisamos ver se o vetor diretor de é perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor diretor de é e o vetor normal do plano é .
Calculamos o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, o vetor diretor de é perpendicular ao vetor normal do plano, o que significa que a reta é paralela ao plano. Portanto, a quarta afirmação está certa.