Prove que a reta
está contida no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a reta dada por
está contida no plano definido pela equação
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente das equações paramétricas de uma reta e da equação cartesiana de um plano, para verificar se todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma reta estar contida em um plano. Isso quer dizer que todo ponto da reta, independente do valor de
, deve satisfazer a equação do plano. Ou seja, ao substituir as coordenadas
,
e
da reta na equação do plano, a igualdade deve se manter verdadeira para qualquer
.
Passo 3
Vamos identificar as coordenadas de um ponto qualquer na reta. A reta é dada por:
Onde
é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Passo 4
Agora, vamos substituir essas expressões na equação do plano
:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 5
Primeiro, distribuímos o 2 no termo
:
Passo 6
Agora, vamos somar os termos semelhantes:
Passo 7
Observamos que a equação simplifica para
, que é sempre verdadeira, independente do valor de
. Isso significa que todo ponto da reta satisfaz a equação do plano.
Resposta
Portanto, a reta
está contida no plano
.