Prove que a reta (-4+t, 2-3 t, 4+5 t) está contida no plano x+2 y+z=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a reta dada por (-4 + t, 2 - 3t, 4 + 5t) está contida no plano definido pela equação x + 2y + z = 4. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente das equações paramétricas de uma reta e da equação cartesiana de um plano, para verificar se todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta estar contida em um plano. Isso quer dizer que todo ponto da reta, independente do valor de t, deve satisfazer a equação do plano. Ou seja, ao substituir as coordenadas x, y e z da reta na equação do plano, a igualdade deve se manter verdadeira para qualquer t.

Passo 3

Vamos identificar as coordenadas de um ponto qualquer na reta. A reta é dada por:
x = -4 + t y = 2 - 3t z = 4 + 5t
Onde t é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 4

Agora, vamos substituir essas expressões na equação do plano x + 2y + z = 4:
(-4 + t) + 2(2 - 3t) + (4 + 5t) = 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 5

Primeiro, distribuímos o 2 no termo 2(2 - 3t):
-4 + t + 4 - 6t + 4 + 5t = 4

Passo 6

Agora, vamos somar os termos semelhantes:
(-4 + 4 + 4) + (t - 6t + 5t) = 4 4 + 0t = 4

Passo 7

Observamos que a equação simplifica para 4 = 4, que é sempre verdadeira, independente do valor de t. Isso significa que todo ponto da reta satisfaz a equação do plano.

Resposta

Portanto, a reta (-4 + t, 2 - 3t, 4 + 5t) está contida no plano x + 2y + z = 4.

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