Dados alpha, beta in R. Considere as retas
r: x=y-alpha2=-z e s:l 4 x-beta y-1=0 y+2 z=0
Sabendo que estas retas são concorrentes, é correto afirmar que:
c) alpha=0 e beta é qualquer

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, r: x = y - alpha2 = -z e s: 4x - beta y - 1 = 0 y + 2z = 0 , definidas pelas seguintes equações:
Queremos descobrir os valores de e que fazem com que essas duas retas sejam concorrentes, ou seja, que elas se cruzem em um ponto comum.
Para resolver isso, vamos precisar do conteúdo de Geometria Analítica que trata de retas no espaço 3D e suas condições de interseção. Vamos resolver isso passo a passo para encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta x = y - alpha2 = -z . A equação da reta x = t y = 2t + alpha z = -t está dada de forma simétrica:
Podemos expressar isso em termos de um parâmetro :
Assim, qualquer ponto na reta pode ser representado por , onde é um número real.

Passo 3

Agora, vamos considerar a reta 4x - beta y - 1 = 0 y + 2z = 0 , que é definida pelo sistema de equações:
y + 2z = 0 Rightarrow z = -y2
Podemos resolver esse sistema para expressar 4x - beta y - 1 = 0 Rightarrow 4x = beta y + 1 Rightarrow x = beta y + 14 e x = beta y + 14 y = y z = -y2 em termos de x = beta t + 14 y = t z = -t2 .
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, podemos parametrizar a reta em termos de :
Podemos usar como parâmetro, mas para facilitar a comparação, vamos usar um parâmetro :
Assim, qualquer ponto na reta pode ser representado por .

Passo 4

Para que as retas t = beta t' + 14 (1) e 2t + alpha = t' (2) sejam concorrentes, deve existir um ponto que pertence a ambas as retas. Isso significa que devemos encontrar valores de -t = -t'2 (3) e (parâmetros das retas e respectivamente) que satisfaçam as equações de ambas as retas simultaneamente.
Igualando as coordenadas correspondentes:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .

Passo 5

Primeiro, da equação (3):
-t = -t'2 Rightarrow t = t'2
Agora, substituímos 2( t'2 ) + alpha = t' Rightarrow t' + alpha = t' da equação acima na equação (2):
alpha = 0
Subtraindo de ambos os lados:
Então, descobrimos que deve ser igual a zero.

Passo 6

Com 2t + 0 = t' Rightarrow t' = 2t , vamos usar a equação (2) novamente:
t = beta (2t) + 14 Rightarrow t = 2beta t + 14
Agora, substituímos 4t = 2beta t + 1 na equação (1):
4t - 2beta t = 1 Rightarrow t(4 - 2beta) = 1
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
t = 14 - 2beta
Subtraindo 4 - 2beta neq 0 Rightarrow beta neq 2 de ambos os lados:
Resolvendo para :
Para que exista uma solução real para , o denominador não pode ser zero:
Isso significa que pode ser qualquer valor real, exceto . No entanto, como o enunciado não impõe restrições adicionais sobre , consideramos que para , as retas são concorrentes.

Passo 7

Concluímos que para as retas alpha = 0 e beta pode ser qualquer valor real e serem concorrentes, é necessário que:

Resposta

A alternativa c) está correta: e pode ser qualquer valor real.

Exercícios relacionados