Dados os vetores u=(1,1,1), v=(2,3,-1) e w=(6,8,26), pede-se decompor 0 vetor w em dois vetores a e b ortogonais entre si, sendo a simultaneamente ortogonal a u e a v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(1,1,1), v=(2,3,-1) e w=(6,8,26) e pede decompor
w=a+b
de modo que aperpu, aperpv e aperpb. O conteúdo usado será produto vetorial para achar a direção normal ao plano de u e v e projeção de vetores.

Passo 2

Para que a seja ortogonal a u e a v, ela deve apontar na direção normal ao plano gerado por esses vetores. Essa direção é dada pelo produto vetorial
n = u times v

Passo 3

Calcular n:
n = det i & j & k 1 & 1 & 1 2 & 3 & -1 = (-4,,3,,1)

Passo 4

A componente de w na direção de n é a projeção de w sobre n, isto é
a = wcdotnncdotn;n

Passo 5

Calcular os produtos internos:
wcdotn =6cdot(-4)+8cdot3+26cdot1=26, ncdotn =(-4)^2+3^2+1^2=26
Logo o coeficiente é tfrac2626=1, e
a=1cdot(-4,,3,,1)=(-4,,3,,1)

Passo 6

A outra componente b é simplesmente o que falta para somar w:
b=w-a=(6,8,26)-(-4,3,1)=(10,5,25)

Resposta

a=(-4,3,1) b=(10,5,25)

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