Q5: Considere uma transformação linear
. A dimensão do núcleo de
NÃO pode ser:
( ✓ ) 13
(B) 15
(C) 21
(D) 39
(E) Não sei
( ✓ ) 13
(B) 15
(C) 21
(D) 39
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e pergunta qual dentre as alternativas é uma dimensão do núcleo de
que NÃO é possível. As alternativas são:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Não sei
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Não sei
Informações relevantes fornecidas:
- Espaço de partida tem dimensão
. - Espaço de chegada tem dimensão
. - Quer-se saber se certas dimensões do núcleo (ou seja,
) são possíveis para alguma transformação linear com essas dimensões.
Passo 2
O que significa “núcleo” e “dimensão do núcleo” — explicação didática e simples:
- O núcleo de
, escrito , é o conjunto de vetores tais que (o vetor zero em ). - A dimensão do núcleo,
, também chamada de nulidade (nullity), é um número inteiro não negativo que conta quantas direções independentes em são enviadas para zero por .
Exemplo intuitivo: se, existe exatamente uma direção (reta) de vetores que manda para zero; se , então todo vetor vai para zero (mapa zero).
Passo 3
Enunciando e explicando a fórmula central (Teorema da dimensão / Teorema do posto-nulidade):
- Para toda transformação linear
vale a relação
Aqui:
-
é a nulidade (dimensão do núcleo), -
é a dimensão da imagem de (posto), -
é a dimensão do espaço de partida (aqui ).
Explicação: a soma das direções que vão para zero com as direções que geram a imagem cobre todas as direções de, sem sobreposição linear.
Passo 4
Usando limites óbvios para o posto (rank):
- A imagem de
está contida em , então o posto satisfaz
Aplicando a fórmula da dimensão:
Como
, temos
Também, como
, obtemos
Portanto, qualquer nulidade possível deve satisfazer
Passo 5
Interpretação prática e checagem das alternativas:
-
: pertence a , ou seja é menor que . Pela desigualdade anterior, , então é impossível. -
: possível quando (mapa sobrejetor). Exemplo: existe um com posto , então nulidade . -
: possível quando , pois . Não há nenhuma contradição com os limites do posto. -
: possível quando , ou seja é o mapa zero; então .
Portanto, dentre as alternativas apresentadas, apenasé impossível.
Passo 6
Resumo construtivo (para fixar):
- Para obter
constrói-se um sobrejetor em (posto ). - Para
basta construir com posto . - Para
toma-se . - Para
não existe porque implicaria posto (pois ), mas posto não pode exceder .
Resposta
(A) 13