Q5: Considere uma transformação linear T: \mathbb{R}^{39} \rightarrow \mathbb{R}^{24}. A dimensão do núcleo de T NÃO pode ser:
( ✓ ) 13
(B) 15
(C) 21
(D) 39
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{39}\to\mathbb{R}^{24} e pergunta qual dentre as alternativas é uma dimensão do núcleo de T que NÃO é possível. As alternativas são:
(A) 13
(B) 15
(C) 21
(D) 39
(E) Não sei
Informações relevantes fornecidas:
  • Espaço de partida tem dimensão 39.
  • Espaço de chegada tem dimensão 24.
  • Quer-se saber se certas dimensões do núcleo (ou seja, \dim(\ker T)) são possíveis para alguma transformação linear T com essas dimensões.

Passo 2

O que significa “núcleo” e “dimensão do núcleo” — explicação didática e simples:
  • O núcleo de T, escrito \ker T, é o conjunto de vetores v\in\mathbb{R}^{39} tais que T(v)=0 (o vetor zero em \mathbb{R}^{24}).
  • A dimensão do núcleo, \dim(\ker T), também chamada de nulidade (nullity), é um número inteiro não negativo que conta quantas direções independentes em \mathbb{R}^{39} são enviadas para zero por T.
    Exemplo intuitivo: se \dim(\ker T)=1, existe exatamente uma direção (reta) de vetores que T manda para zero; se \dim(\ker T)=39, então todo vetor vai para zero (mapa zero).

Passo 3

Enunciando e explicando a fórmula central (Teorema da dimensão / Teorema do posto-nulidade):
  • Para toda transformação linear T: \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} vale a relação
\dim(\ker T)+\operatorname{rank}(T)=n.
Aqui:
  • \dim(\ker T) é a nulidade (dimensão do núcleo),
  • \operatorname{rank}(T) é a dimensão da imagem de T (posto),
  • n é a dimensão do espaço de partida (aqui n=39).
    Explicação: a soma das direções que vão para zero com as direções que geram a imagem cobre todas as direções de \mathbb{R}^{n}, sem sobreposição linear.

Passo 4

Usando limites óbvios para o posto (rank):
  • A imagem de T está contida em \mathbb{R}^{24}, então o posto satisfaz
0\le \operatorname{rank}(T)\le 24.
Aplicando a fórmula da dimensão:
\dim(\ker T)=39-\operatorname{rank}(T).
Como \operatorname{rank}(T)\le 24, temos
\dim(\ker T)=39-\operatorname{rank}(T)\ge 39-24=15.
Também, como \operatorname{rank}(T)\ge 0, obtemos
\dim(\ker T)\le 39.
Portanto, qualquer nulidade possível deve satisfazer
\dim(\ker T)\in\{15,16,17,\dots,39\}.

Passo 5

Interpretação prática e checagem das alternativas:
  • 13: pertence a \{0,\dots,14\}, ou seja é menor que 15. Pela desigualdade anterior, \dim(\ker T)\ge 15, então 13 é impossível.
  • 15: possível quando \operatorname{rank}(T)=24 (mapa sobrejetor). Exemplo: existe um T com posto 24, então nulidade 39-24=15.
  • 21: possível quando \operatorname{rank}(T)=18, pois 39-18=21. Não há nenhuma contradição com os limites do posto.
  • 39: possível quando \operatorname{rank}(T)=0, ou seja T é o mapa zero; então \dim(\ker T)=39.
    Portanto, dentre as alternativas apresentadas, apenas 13 é impossível.

Passo 6

Resumo construtivo (para fixar):
  • Para obter \dim(\ker T)=15 constrói-se um T sobrejetor em \mathbb{R}^{24} (posto 24).
  • Para \dim(\ker T)=21 basta construir T com posto 18.
  • Para \dim(\ker T)=39 toma-se T\equiv 0.
  • Para \dim(\ker T)=13 não existe T porque implicaria posto 26 (pois 39-13=26), mas posto não pode exceder 24.

Resposta

(A) 13

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