Questão 3:(2 pontos)Determine se o seguinte conjunto
é um subespaço do espaço vetorial de matrizes quadradas de ordem 2:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificarmos se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: mostrar que (i) o vetor zero está em
, (ii)
é fechado sob soma e (iii)
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a matriz zero
é simétrica, pois
. Logo,
.]
Passo 3
Sejam
e
duas matrizes em
. Então
A soma delas satisfaz
ou seja,
também é simétrica. Portanto,
, mostrando que
é fechado sob soma.
Passo 4
Seja
e
. Como
, temos
Isso prova que qualquer múltiplo escalar de
permanece simétrico, logo
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
satisfaz todas as condições de subespaço (contém o zero, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar). Portanto,
é um subespaço de
.