Questão 3:(2 pontos)Determine se o seguinte conjunto
V=\left\{A \in \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}): A=A^{t}\right\}
é um subespaço do espaço vetorial de matrizes quadradas de ordem 2: \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se o conjunto
V = \{A \in \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}) : A = A^{t}\}
é um subespaço de \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}). Para isso, vamos usar a definição de subespaço: mostrar que (i) o vetor zero está em V, (ii) V é fechado sob soma e (iii) V é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero
O = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix}
é simétrica, pois O^{t}=O. Logo, O\in V.]

Passo 3

Sejam A e B duas matrizes em V. Então
A = A^{t} \quad\text{e}\quad B = B^{t}.
A soma delas satisfaz
(A + B)^{t} = A^{t} + B^{t} = A + B,
ou seja, A+B também é simétrica. Portanto, A+B\in V, mostrando que V é fechado sob soma.

Passo 4

Seja \lambda\in\mathbb{R} e A\in V. Como A=A^{t}, temos
(\lambda A)^{t} = \lambda\,A^{t} = \lambda A.
Isso prova que qualquer múltiplo escalar de A permanece simétrico, logo \lambda A\in V. Assim, V é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto V satisfaz todas as condições de subespaço (contém o zero, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar). Portanto, V é um subespaço de \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}).

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