\mathcal{L}\left\{\cos ^{2}(a t)\right\}, a \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \cos^2(a t) para a\in\mathbb{R}. Vamos usar a identidade trigonométrica para reduzir o quadrado do cosseno e em seguida aplicar a linearidade da transformada de Laplace.

Passo 2

Usamos a fórmula
\cos^2(a t)\;=\;\frac{1+\cos(2a t)}{2}.

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{\cos^2(a t)\} =\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{1\} +\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{\cos(2a t)\}.

Passo 4

Sabemos que
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}, \qquad \mathcal{L}\{\cos(2a t)\}=\frac{s}{s^2+(2a)^2}=\frac{s}{s^2+4a^2}.
Substituindo,
\mathcal{L}\{\cos^2(a t)\} =\frac{1}{2}\,\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\,\frac{s}{s^2+4a^2} =\frac{1}{2s}+\frac{s}{2\bigl(s^2+4a^2\bigr)}.

Passo 5

Para obter uma única fração, somamos os termos sobre o denominador comum 2s(s^2+4a^2):
\frac{1}{2s}=\frac{s^2+4a^2}{2s(s^2+4a^2)}, \quad \frac{s}{2(s^2+4a^2)}=\frac{s^2}{2s(s^2+4a^2)},
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\mathcal{L}\{\cos^2(a t)\} =\frac{s^2+4a^2+s^2}{2s(s^2+4a^2)} =\frac{2s^2+4a^2}{2s(s^2+4a^2)} =\frac{s^2+2a^2}{s\,(s^2+4a^2)}.

Resposta

\mathcal{L}\{\cos^2(a t)\} =\frac{1}{2s}+\frac{s}{2\bigl(s^2+4a^2\bigr)} \;=\;\frac{s^2+2a^2}{s\,(s^2+4a^2)}.

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