Considere a transformação linear D: P_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{3}(\mathbb{R}), onde D(p)=p^{\prime}.
(a) Escreva D na forma matricial em relação à base canônica \left\{t^{3}, t^{2}, t, 1\right\}.
(b) Determine \operatorname{Ker}(D) e \operatorname{Im}(D) e encontre uma base para cada um destes subespaços. Verifique o teorma do núcleo e da imagem.
(c) Mostre que D \circ D \circ D \circ D=\mathbf{0}. Primeiro usando a definição de derivada. Depois usando a representação matricial.
Passo 1
O enunciado fornece a transformação linear D: P_{3}(\mathbb{R}) \to P_{3}(\mathbb{R}) dada por D(p)=p'. As perguntas são:
(a) Escrever D na forma matricial relativa à base canônica \{t^{3},t^{2},t,1\}.
(b) Determinar \operatorname{Ker}(D) e \operatorname{Im}(D), encontrar uma base para cada um e verificar o teorema núcleo-imagem.
(c) Mostrar que D\circ D\circ D\circ D=\mathbf{0} (primeiro usando a definição de derivada e depois usando a representação matricial).
Informações relevantes dadas: domínio e contradomínio são P_{3}(\mathbb{R}) (polinômios de grau ≤ 3) e a ação de D é a derivada usual.
Passo 2
Vamos calcular D sobre os vetores da base canônica e obter suas coordenadas nessa mesma base. Isso porque, para uma transformação linear, a matriz na base dada tem como colunas as coordenadas das imagens dos vetores da base.
Definições rápidas e úteis (em linguagem direta): \operatorname{Ker}(D)=\{p\in P_{3}(\mathbb{R}) : D(p)=0\} e \operatorname{Im}(D)=\{D(p):p\in P_{3}(\mathbb{R})\}.
Para encontrar \operatorname{Ker}(D), tome um polinômio geral
p(t)=at^{3}+bt^{2}+ct+d.
Então
p'(t)=3at^{2}+2bt+c.
Pedir p'(t)=0 como polinômio implica que todos os coeficientes são zero:
Aqui \dim(\operatorname{Ker}(D))=1, \dim(\operatorname{Im}(D))=3 e \dim(P_{3}(\mathbb{R}))=4. De fato 1+3=4, portanto o teorema está verificado.
Passo 7
Agora (c) — primeira parte: usando a definição de derivada.
Se p\in P_{3}(\mathbb{R}) então \deg(p)\le 3. Cada derivada reduz o grau do polinômio em pelo menos 1 (ou transforma uma constante em 0). Portanto após três derivações um polinômio de grau ≤ 3 vira uma constante, e após a quarta derivação essa constante vira 0. Formalmente, D^{4}(p)=p^{(4)}=0 para todo p\in P_{3}(\mathbb{R}). Por exemplo, para p(t)=t^{3}:
Portanto D\circ D\circ D\circ D=\mathbf{0} (a transformação zero).
Passo 8
Segunda parte de (c): usando a representação matricial.
Usamos a matriz A do Passo 3. É prático calcular A^{2},A^{3},A^{4} coluna a coluna aplicando A às colunas anteriores (isto equivale a aplicar D sucessivamente às imagens dos vetores da base).
Assim as colunas de A^{2} são (0,0,6,0)^{T},(0,0,0,2)^{T},(0,0,0,0)^{T},(0,0,0,0)^{T}; as colunas de A^{3} são (0,0,0,6)^{T},(0,0,0,0)^{T},(0,0,0,0)^{T},(0,0,0,0)^{T}; e A^{4} tem todas as colunas nulas. Portanto
A^{4}=0_{4\times 4},
isto é, a quarta potência da matriz é a matriz zero. Isso equivale a dizer que D^{4}=\mathbf{0}.
Passo 9
Conclusão final: tanto pela redução do grau pela derivada quanto pelo cálculo direto das potências da matriz de D, obtemos D^{4}=\mathbf{0}.