Seja T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) um operador linear tal que \left(T\left(p_{0}\right)\right)(t)=1+t,\left(T\left(p_{1}(t)\right)(t)=t+t^{2} \mathrm{e}\left(T\left(p_{2}\right)\right)(t)=\right. 1+t-t^{2}, onde p_{i}(t)=t^{i}, i=0,1,2.
(a) Encontre T(p) para p \in P_{2}(\mathbb{R}).
(b) T é sobrejetora? Justifique a resposta.
(c) T é injetora? Justifique sua resposta.
(d) T é bijetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R}) e informa as imagens dos polinômios da base canônica p_{0}(t)=t^{0}=1,\;p_{1}(t)=t,\;p_{2}(t)=t^{2}. As informações são (pego diretamente do enunciado):
\left(T\left(p_{0}\right)\right)(t)=1+t, \qquad \left(T\left(p_{1}\right)\right)(t)=t+t^{2}, \qquad \left(T\left(p_{2}\right)\right)(t)=1+t-t^{2}.
As perguntas pedem:
(a) determinar T(p) para um polinômio genérico p\in P_{2}(\mathbb{R});
(b) verificar se T é sobrejetora (onto) e justificar;
(c) verificar se T é injetora (one-to-one) e justificar;
(d) verificar se T é bijetora e justificar.

Passo 2

Vamos usar linearidade para obter T em um polinômio genérico. Primeiro escrevo um polinômio genérico de grau ≤ 2 com coeficientes reais:
p(t)=a+bt+ct^{2},
onde \,a,b,c\in\mathbb{R} são os coeficientes. A propriedade essencial da linearidade é:
T(\alpha p+\beta q)=\alpha T(p)+\beta T(q)
para todos \alpha,\beta\in\mathbb{R} e p,q\in P_{2}(\mathbb{R}). Em particular, aplicando T ao p(t)=a\cdot p_{0}(t)+b\cdot p_{1}(t)+c\cdot p_{2}(t) obtemos:
T(p)=a\,T(p_{0})+b\,T(p_{1})+c\,T(p_{2}).
Agora substituímos as imagens dadas no enunciado. Em forma de função de t:
\begin{aligned} \big(T(p)\big)(t) &=a\big(1+t\big)+b\big(t+t^{2}\big)+c\big(1+t-t^{2}\big). \end{aligned}
Vou desenvolver e agrupar termos por potências de t. Primeiro distribuir:
\big(T(p)\big)(t)=a + a t + b t + b t^{2} + c + c t - c t^{2}.
Agora somo os termos semelhantes:
  • coeficiente do termo constante ( t^{0}): a + c;
  • coeficiente de t^{1}: a + b + c;
  • coeficiente de t^{2}: b - c.
Portanto, para todo p(t)=a+bt+ct^{2},
\boxed{\big(T(p)\big)(t)=(a+c) + (a+b+c)\,t + (b-c)\,t^{2}.}
Isso responde (a): é só pegar os coeficientes a,b,c e usar essa fórmula.

Passo 3

Para responder (b) sobre sobrejetividade, é prático ver a representação matricial de T na base \{1,t,t^{2}\}. As colunas da matriz de T são as coordenadas de T(p_{0}),T(p_{1}),T(p_{2}) nessa base. Das imagens dadas:
T(p_{0})=1+t \longrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad T(p_{1})=t+t^{2} \longrightarrow \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \quad T(p_{2})=1+t-t^{2} \longrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
Logo a matriz de T (colunas são essas coordenadas) é
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Uma maneira direta de decidir se uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} (ou entre espaços de dimensão 3) é sobrejetora é verificar se a matriz tem posto 3, equivalently se \det(M)\neq 0. Vou calcular o determinante de M expandindo pela primeira linha:
\begin{aligned} \det(M) &=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]1 & -1\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}. \end{aligned}
Calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]1 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot1=-1-1=-2,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1.
Portanto
\det(M)=1\cdot(-2)+1\cdot1=-2+1=-1.
Como \det(M)=-1\neq 0, a matriz é invertível e tem posto 3. Conclusão: a imagem de T tem dimensão 3, que é toda a dimensão de P_{2}(\mathbb{R}). Logo T é sobrejetora.
(Explicação conceitual curta: uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão é sobrejetora se a matriz associada for invertível — isto garante que qualquer vetor do codomínio tem um pré-imagem.)]

Passo 4

Para (c) injetividade: definição rápida — [T) é injetora se T(p)=0 implica p=0. Podemos usar duas rotas equivalentes; aqui mostro as duas para fixar a ideia.
Rota 1 — usando invertibilidade: já vimos que \det(M)\neq 0, então M é invertível. Uma matriz invertível representa uma transformação linear que tem núcleo \{0\}; portanto T é injetora.
Rota 2 — resolvendo explicitamente o núcleo (mais construtivo). Pegue p(t)=a+bt+ct^{2} tal que T(p)=0 (o polinômio nulo). Pela fórmula do Passo 2 isso dá o sistema de equações (coeficientes iguais a zero):
\begin{cases} a+c=0,\\[4pt] a+b+c=0,\\[4pt] b-c=0. \end{cases}
Resolvo passo a passo: da terceira equação b-c=0\] vem \(b=c. Da primeira a+c=0 vem a=-c. Substituindo na segunda:
a+b+c = (-c) + c + c = c = 0.
Então c=0. Daí b=c=0 e a=-c=0. Portanto a=b=c=0, isto é, o único polinômio no núcleo é o polinômio zero. Logo T é injetora.]

Passo 5

Para (d) bijetividade: por definição T é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Pelos passos anteriores mostramos que T é sobrejetora e também injetora. Portanto T é bijetora. Outra forma de ver: a matriz associada tem determinante não nulo, logo é invertível, e um operador linear representado por matriz invertível é bijetivo.

Resposta

(a) \displaystyle \big(T(p)\big)(t)=(a+c)+(a+b+c)\,t+(b-c)\,t^{2}, para p(t)=a+bt+ct^{2}.\n
(b) Sim.\n
(c) Sim.\n
(d) Sim.

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