Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador lienar tal que T\left(e_{1}\right)=(2,3,1), T\left(e_{1}+e_{2}\right)=(5,2,7) e T\left(e_{1}+e_{2}+\right. \left.e_{3}\right)=(-2,0,7).
(a) Encontre T(x, y, z) para (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.
(b) T é sobrejetora? Justifique sua resposta.
(c) T é injetora? Justifique sua resposta.
(d) T é bijetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá as imagens de alguns vetores pelos quais vamos identificar a transformação linear. Informações dadas:
O que o exercício pede:
(a) Encontrar T(x,y,z) para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
(b) Determinar se T é sobrejetora (ou seja, se atinge todo \mathbb{R}^3).
(c) Determinar se T é injetora (ou seja, se T(v)=0 implica v=0).
(d) Determinar se T é bijetora (isto é, injetora e sobrejetora simultaneamente).
Passo 2
Primeiro vamos usar as informações para achar T(e_{2}). Pela linearidade e pela igualdade dada,
Um mapa linear \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é invertível (logo injetor e sobrejetor) exatamente quando a matriz tem determinante diferente de zero. Vamos calcular \det(A).]
Passo 7
Calculamos \det(A) usando produto escalar com produto vetorial (ou desenvolvimento por cofatores). Seja c_1,c_2,c_3 as colunas de A:
Como \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível. Consequências imediatas:
A imagem de T tem dimensão 3, logo \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3. Assim T é sobrejetora.
A nulidade (dimensão do núcleo) é 0, logo o único vetor enviado em 0 é o vetor zero; portanto T é injetora.
Sendo injetora e sobrejetora simultaneamente, T é bijetora.
Resposta
(a) T(x,y,z) = (\,2x+3y-7z,\;3x-y-2z,\;x+6y\,).
(b) Sim. T é sobrejetora porque a matriz associada tem \det(A)=-115\neq0, logo posto 3.
(c) Sim. T é injetora porque \det(A)\neq0 implica núcleo trivial.
(d) Sim. T é bijetora (invertível), pois é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.