Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador lienar tal que
T\left(e_{1}\right)=(2,3,1), T\left(e_{1}+e_{2}\right)=(5,2,7) e T\left(e_{1}+e_{2}+\right. \left.e_{3}\right)=(-2,0,7).
(a) Encontre T(x, y, z) para (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.
(b) T é sobrejetora? Justifique sua resposta.
(c) T é injetora? Justifique sua resposta.
(d) T é bijetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as imagens de alguns vetores pelos quais vamos identificar a transformação linear. Informações dadas:
T\left(e_{1}\right)=(2,3,1), \qquad T\left(e_{1}+e_{2}\right)=(5,2,7), \qquad T\left(e_{1}+e_{2}+e_{3}\right)=(-2,0,7).
O que o exercício pede:
(a) Encontrar T(x,y,z) para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
(b) Determinar se T é sobrejetora (ou seja, se atinge todo \mathbb{R}^3).
(c) Determinar se T é injetora (ou seja, se T(v)=0 implica v=0).
(d) Determinar se T é bijetora (isto é, injetora e sobrejetora simultaneamente).

Passo 2

Primeiro vamos usar as informações para achar T(e_{2}). Pela linearidade e pela igualdade dada,
T(e_{1}+e_{2}) = T(e_{1}) + T(e_{2}).
Isolando T(e_{2}) temos
T(e_{2}) = T(e_{1}+e_{2}) - T(e_{1}).
Substituindo os vetores fornecidos:
T(e_{2}) = (5,2,7) - (2,3,1) = (5-2,\;2-3,\;7-1) = (3,-1,6).

Passo 3

Agora achamos T(e_{3}) usando a igualdade para e_{1}+e_{2}+e_{3}:
T(e_{1}+e_{2}+e_{3}) = T(e_{1}) + T(e_{2}) + T(e_{3}).
Isolando T(e_{3}) e substituindo os valores conhecidos:
T(e_{3}) = T(e_{1}+e_{2}+e_{3}) - T(e_{1}+e_{2}) = (-2,0,7) - (5,2,7).
Portanto
T(e_{3}) = (-2-5,\;0-2,\;7-7) = (-7,-2,0).

Passo 4

Qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 se escreve como combinação linear das bases canônicas:
(x,y,z) = x e_{1} + y e_{2} + z e_{3}.
Pela linearidade de T,
T(x,y,z) = x\,T(e_{1}) + y\,T(e_{2}) + z\,T(e_{3}).
Já temos T(e_{1}), T(e_{2}) e T(e_{3}). Substituindo:
T(x,y,z) = x(2,3,1) + y(3,-1,6) + z(-7,-2,0).

Passo 5

Vamos combinar componente a componente (faça isso passo a passo na prova):
Primeira componente:
2x + 3y - 7z.
Segunda componente:
3x - y - 2z.
Terceira componente:
x + 6y + 0\cdot z = x + 6y.
Logo escrevemos a transformação explicitamente:
T(x,y,z) = (\,2x+3y-7z,\; 3x-y-2z,\; x+6y\,).

Passo 6

Para investigar injetividade/sobrejetividade é útil ver a matriz de T na base canônica: suas colunas são T(e_{1}),T(e_{2}),T(e_{3}). Assim
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & -7\\[4pt] 3 & -1 & -2\\[4pt] 1 & 6 & 0 \end{pmatrix}.
Um mapa linear \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é invertível (logo injetor e sobrejetor) exatamente quando a matriz tem determinante diferente de zero. Vamos calcular \det(A).]

Passo 7

Calculamos \det(A) usando produto escalar com produto vetorial (ou desenvolvimento por cofatores). Seja c_1,c_2,c_3 as colunas de A:
c_1=(2,3,1),\quad c_2=(3,-1,6),\quad c_3=(-7,-2,0).
Primeiro c_2\times c_3:
c_2\times c_3 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 3 & -1 & 6\\[4pt] -7 & -2 & 0 \end{vmatrix} = ( -1\cdot 0 - 6\cdot(-2),\; -(3\cdot 0 - 6\cdot(-7)),\; 3\cdot(-2) - (-1)\cdot(-7) ).
Ou seja,
c_2\times c_3 = (12,\; -42,\; -13).
Agora o determinante é c_1\cdot (c_2\times c_3):
\det(A) = (2,3,1)\cdot(12,-42,-13) = 2\cdot12 + 3\cdot(-42) + 1\cdot(-13).
Calculando:
\det(A) = 24 -126 -13 = -115.
Portanto \det(A) = -115 \neq 0.]

Passo 8

Como \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível. Consequências imediatas:
  • A imagem de T tem dimensão 3, logo \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3. Assim T é sobrejetora.
  • A nulidade (dimensão do núcleo) é 0, logo o único vetor enviado em 0 é o vetor zero; portanto T é injetora.
  • Sendo injetora e sobrejetora simultaneamente, T é bijetora.

Resposta

(a) T(x,y,z) = (\,2x+3y-7z,\;3x-y-2z,\;x+6y\,).
(b) Sim. T é sobrejetora porque a matriz associada tem \det(A)=-115\neq0, logo posto 3.
(c) Sim. T é injetora porque \det(A)\neq0 implica núcleo trivial.
(d) Sim. T é bijetora (invertível), pois é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

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