Encontre a solução da EDO \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}+2 y=3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial ordinária
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + 2y = 3.
Informações dadas e o que precisamos entregar:
  • É uma equação envolvendo a função y dependente da variável t.
  • A equação é de primeira ordem (aparece apenas \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}) e tem coeficiente constante 2 multiplicando y.
  • O termo do lado direito é a constante 3.
  • Não foi fornecida nenhuma condição inicial, logo devemos apresentar a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): há duas maneiras bem simples aqui — usar o fator integrante (integrating factor) ou separar em solução homogênea + solução particular (método da soma). Ambos são rápidos; vou usar o fator integrante porque é um procedimento sistemático que funciona para toda equação linear de primeira ordem e é fácil de aplicar quando os coeficientes são constantes. Depois mostro a ideia alternativa (homogênea + particular) para reforçar o entendimento.

Passo 3

Apresentando o método do fator integrante de forma didática:
  • Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + P(t)\,y = Q(t),
onde P(t) e Q(t) são funções conhecidas de t.
  • Definimos o fator integrante \mu(t) por
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,\mathrm{d}t\right).
  • A razão disso: multiplicando toda a equação original por \mu(t) obtemos
\mu(t)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + \mu(t)P(t)y = \mu(t)Q(t),
e a esquerda passa a ser a derivada do produto \mu(t)y, porque
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\mu(t)y\big)=\mu(t)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + \mu'(t)y
e \mu'(t)=\mu(t)P(t) por construção. Assim conseguimos transformar a equação numa forma integrável:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\mu(t)y\big)=\mu(t)Q(t).
  • Depois integramos ambos os lados em t e isolamos y.

Passo 4

Aplicando o método ao caso específico:
  • Aqui P(t)=2 e Q(t)=3 (constantes). Calculamos o fator integrante:
\mu(t)=\exp\!\left(\int 2\,\mathrm{d}t\right)=\exp(2t)=e^{2t}.
  • Multiplicando a equação original por e^{2t} obtemos
e^{2t}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + 2e^{2t}y = 3e^{2t}.
  • O termo da esquerda é exatamente a derivada do produto e^{2t}y, isto é,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(e^{2t}y\big)=3e^{2t}.

Passo 5

Integração e obtenção da constante de integração:
  • Integramos ambos os lados em t:
\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(e^{2t}y\big)\,\mathrm{d}t = \int 3e^{2t}\,\mathrm{d}t.
  • A integral da esquerda simplesmente recupera o produto:
e^{2t}y.
  • A integral da direita é
\int 3e^{2t}\,\mathrm{d}t = 3\cdot\frac{1}{2}e^{2t} + C = \frac{3}{2}e^{2t} + C,
onde C é a constante arbitrária de integração.
  • Portanto chegamos à identidade
e^{2t}y = \frac{3}{2}e^{2t} + C.

Passo 6

Isolando y (como fazer na prova):
  • Para obter y basta dividir ambos os lados por e^{2t} (que nunca é zero). Esse passo isola a função buscada e produz a solução geral da equação diferencial com a constante arbitrária C que apareceu na integração.
  • Observação sobre a constante: como não foi dada condição inicial, C permanece indeterminado e representa a família de soluções.

Passo 7

Método alternativo (homogênea + particular), para fixar a ideia:
  • Primeiro resolvemos a equação homogênea associada \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+2y=0. Separando variáveis ou reconhecendo que é exponencial, obtemos uma solução homogênea da forma y_h(t)=K e^{-2t} (com K constante).
  • Em seguida procuramos uma solução particular y_p(t). Como o lado direito é a constante 3, é natural testar uma solução particular constante y_p=A. Substituindo na equação:
0 + 2A = 3 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{2}.
  • A solução geral é a soma da homogênea com a particular (princípio da superposição para equações lineares):
y(t)=y_p(t)+y_h(t).
  • Esse raciocínio leva à mesma solução geral que obtivemos pelo fator integrante.

Passo 8

Verificação rápida (como checar na prova sem contas longas):
  • A forma compacta que encontramos antes da divisão, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(e^{2t}y\big)=3e^{2t}, já garante que, ao integrar e isolar y, a função encontrada satisfaz a equação original. Assim a solução é válida.
  • Lembre-se: sem condição inicial, o parâmetro que aparece após integrar é livre e representa a família de soluções.

Resposta

y(t)=\dfrac{3}{2}+Ce^{-2t}

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