Encontre a solução da EDO
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial ordinária
Informações dadas e o que precisamos entregar:
- É uma equação envolvendo a função
dependente da variável . - A equação é de primeira ordem (aparece apenas
) e tem coeficiente constante multiplicando . - O termo do lado direito é a constante
. - Não foi fornecida nenhuma condição inicial, logo devemos apresentar a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): há duas maneiras bem simples aqui — usar o fator integrante (integrating factor) ou separar em solução homogênea + solução particular (método da soma). Ambos são rápidos; vou usar o fator integrante porque é um procedimento sistemático que funciona para toda equação linear de primeira ordem e é fácil de aplicar quando os coeficientes são constantes. Depois mostro a ideia alternativa (homogênea + particular) para reforçar o entendimento.
Passo 3
Apresentando o método do fator integrante de forma didática:
- Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
são funções conhecidas de
.
- Definimos o fator integrante
por
- A razão disso: multiplicando toda a equação original por
obtemos
e a esquerda passa a ser a derivada do produto
, porque
e
por construção. Assim conseguimos transformar a equação numa forma integrável:
- Depois integramos ambos os lados em
e isolamos .
Passo 4
Aplicando o método ao caso específico:
- Aqui
e (constantes). Calculamos o fator integrante:
- Multiplicando a equação original por
obtemos
- O termo da esquerda é exatamente a derivada do produto
, isto é,
Passo 5
Integração e obtenção da constante de integração:
- Integramos ambos os lados em
:
- A integral da esquerda simplesmente recupera o produto:
- A integral da direita é
onde
é a constante arbitrária de integração.
- Portanto chegamos à identidade
Passo 6
Isolando
(como fazer na prova):
- Para obter
basta dividir ambos os lados por (que nunca é zero). Esse passo isola a função buscada e produz a solução geral da equação diferencial com a constante arbitrária que apareceu na integração. - Observação sobre a constante: como não foi dada condição inicial,
permanece indeterminado e representa a família de soluções.
Passo 7
Método alternativo (homogênea + particular), para fixar a ideia:
- Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
. Separando variáveis ou reconhecendo que é exponencial, obtemos uma solução homogênea da forma (com constante). - Em seguida procuramos uma solução particular
. Como o lado direito é a constante , é natural testar uma solução particular constante . Substituindo na equação:
- A solução geral é a soma da homogênea com a particular (princípio da superposição para equações lineares):
- Esse raciocínio leva à mesma solução geral que obtivemos pelo fator integrante.
Passo 8
Verificação rápida (como checar na prova sem contas longas):
- A forma compacta que encontramos antes da divisão,
, já garante que, ao integrar e isolar , a função encontrada satisfaz a equação original. Assim a solução é válida. - Lembre-se: sem condição inicial, o parâmetro que aparece após integrar é livre e representa a família de soluções.