Resolva a EDO
pelo método de fator integrante.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A variável independente é
. - A equação é da forma
.
O que se quer: encontrar a solução geralque satisfaz essa equação.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
onde
. Aqui identificamos explicitamente
Explicando:
é a função que multiplica
e
é o termo independente. Nosso objetivo com o método do fator integrante é transformar o lado esquerdo numa derivada de produto simples.
Passo 3
Definimos o fator integrante
por
Por que isso funciona? Se multiplicarmos a equação original por
obtemos
Queremos que isso seja a derivada
. Note que
Logo precisamos que
, ou seja
. Integrando essa relação chegamos exatamente à fórmula acima para
.
Passo 4
Calculamos
usando
:
Comentário: aqui
é uma função positiva e simples que vai facilitar transformar o lado esquerdo em uma derivada exata.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
:
Pelo motivo do passo anterior o lado esquerdo é a derivada de produto:
Explicando: aplicamos a identidade
e como
obtemos exatamente o termo
.
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A do lado direito calculamos assim:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Da igualdade obtida temos
Dividindo por
(que nunca é zero) isolamos
:
Interpretação rápida: a solução geral é a soma de uma solução particular constante
e da solução geral da homogênea
. A constante
é arbitrária e será fixada apenas se houver condição inicial.