Resolva a EDO \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}+2 y=3 pelo método de fator integrante.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+2y=3.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y=y(t).
  • A variável independente é t.
  • A equação é da forma \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+2y=3.
    O que se quer: encontrar a solução geral y(t) que satisfaz essa equação.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y' + p(t)\,y = q(t),
onde y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}. Aqui identificamos explicitamente
p(t)=2\qquad\text{e}\qquad q(t)=3.
Explicando: p(t) é a função que multiplica y e q(t) é o termo independente. Nosso objetivo com o método do fator integrante é transformar o lado esquerdo numa derivada de produto simples.

Passo 3

Definimos o fator integrante \mu(t) por
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,\mathrm{d}t\Big).
Por que isso funciona? Se multiplicarmos a equação original por \mu(t) obtemos
\mu y' + \mu p y.
Queremos que isso seja a derivada (\mu y)'. Note que
(\mu y)'=\mu y' + \mu' y.
Logo precisamos que \mu'=\mu p, ou seja \frac{\mu'}{\mu}=p. Integrando essa relação chegamos exatamente à fórmula acima para \mu.

Passo 4

Calculamos \mu(t) usando p(t)=2:
\mu(t)=\exp\!\Big(\int 2\,\mathrm{d}t\Big)=\exp(2t)=e^{2t}.
Comentário: aqui e^{2t} é uma função positiva e simples que vai facilitar transformar o lado esquerdo em uma derivada exata.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=e^{2t}:
e^{2t}y' + 2e^{2t}y = 3e^{2t}.
Pelo motivo do passo anterior o lado esquerdo é a derivada de produto:
(e^{2t}y)' = 3e^{2t}.
Explicando: aplicamos a identidade (\mu y)'=\mu y' + \mu' y e como \mu'=2e^{2t} obtemos exatamente o termo 2e^{2t}y.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int (e^{2t}y)'\,\mathrm{d}t = \int 3e^{2t}\,\mathrm{d}t.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{2t}y. A do lado direito calculamos assim:
\int 3e^{2t}\,\mathrm{d}t = 3\int e^{2t}\,\mathrm{d}t = 3\cdot\frac{1}{2}e^{2t} + C = \frac{3}{2}e^{2t}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Da igualdade obtida temos
e^{2t}y = \frac{3}{2}e^{2t} + C.
Dividindo por e^{2t} (que nunca é zero) isolamos y:
y(t)=\frac{3}{2} + C e^{-2t}.
Interpretação rápida: a solução geral é a soma de uma solução particular constante \frac{3}{2} e da solução geral da homogênea Ce^{-2t}. A constante C é arbitrária e será fixada apenas se houver condição inicial.

Resposta

y(t)=\dfrac{3}{2}+C\,e^{-2t}

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