Consideremos a matriz
A=\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right]
a) Mostre que a matriz A é diagonalizável.
b) Determine P que diagonaliza A e calcule \mathrm{P}^{-1} \mathrm{AP}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix}
e pede (a) mostrar que A é diagonalizável e (b) encontrar uma matriz P que diagonaliza A, ou seja, tal que
P^{-1} A P = D
seja diagonal. O conteúdo envolvido é cálculo de autovalores, autovetores e montagem da matriz de mudança de base.

Passo 2

Para verificar a diagonalizabilidade, calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & -1\\\\ -1 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)^2 - (-1)(-1) =(1-\lambda)^2 - 1.
Expandindo,
(1-\lambda)^2 - 1 =\lambda^2 -2\lambda +1 -1 =\lambda(\lambda - 2).
Assim, os autovalores são
\lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = 2.
Como são dois autovalores distintos em \mathbb{R}, concluímos que A é diagonalizável em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Agora encontramos autovetores. Para \lambda_1=0 resolvemos
(A - 0\cdot I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
o que dá x - y =0. Um autovetor não nulo é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=2 resolvemos
(A - 2I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} -1 & -1\\\\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
o que dá x + y =0. Um autovetor não nulo é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Escolhemos P cujas colunas são os autovetores v_1 e v_2:
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
O determinante de P é \det P = -2\neq0, logo P é inversível. Calculamos
P^{-1} =\frac{1}{\det P} \begin{pmatrix} -1 & -1\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac12 & \frac12\\\ \frac12 & -\frac12 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, verificamos que
P^{-1} A P =\begin{pmatrix} \frac12 & \frac12\\\ \frac12 & -\frac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
Isso é justamente uma matriz diagonal com as entradas iguais aos autovalores.

Resposta

A é diagonalizável. Uma escolha conveniente é
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
com
P^{-1} A P =\begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.

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