Consideremos a matriz
a) Mostre que a matriz A é diagonalizável.
b) Determine P que diagonaliza A e calcule
.
b) Determine P que diagonaliza A e calcule
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede (a) mostrar que
é diagonalizável e (b) encontrar uma matriz
que diagonaliza
, ou seja, tal que
seja diagonal. O conteúdo envolvido é cálculo de autovalores, autovetores e montagem da matriz de mudança de base.
Passo 2
Para verificar a diagonalizabilidade, calculamos o polinômio característico de
:
Expandindo,
Assim, os autovalores são
Como são dois autovalores distintos em
, concluímos que
é diagonalizável em
.
Passo 3
Agora encontramos autovetores. Para
resolvemos
o que dá
. Um autovetor não nulo é
Para
resolvemos
o que dá
. Um autovetor não nulo é
Passo 4
Escolhemos
cujas colunas são os autovetores
e
:
O determinante de
é
, logo
é inversível. Calculamos
Passo 5
Finalmente, verificamos que
Isso é justamente uma matriz diagonal com as entradas iguais aos autovalores.
Resposta
A é diagonalizável. Uma escolha conveniente é
com