Considere a transformação linear T: R^2 R^3 com matriz [T]B^prime^B=[cc1 & -2 2 & 0 -1 & 3] onde B=(1,0),(0,1) é a base canônica do R^2 e B^prime=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) é a base canônica de R^3. Se T(v)=(2,4,-2), determine v.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
Tcolon R^2toR^3 cuja matriz na base canônica Bto B' é
A = [T]B'^B = 1 & -2 2 & 0 -1 & 3
e informa que T(v) = (2,4,-2). Queremos encontrar o vetor vinR^2. Para isso vamos usar a relação
T(v) ;=; A,[v]B
e resolver o sistema linear resultante.

Passo 2

Seja
Então

Passo 3

Isso equivale ao sistema
v1 - 2v2 = 2, 2v1 = 4, -,v1 + 3v2 = -2

Passo 4

Da segunda equação vem
2v1 = 4 Longrightarrow v1 = 2
Substituindo em v1 - 2v2 = 2
2 - 2v2 = 2 Longrightarrow v2 = 0
E a terceira equação -2 + 3cdot0 = -2 confirma consistência.

Resposta

v = (2,0)

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