Verifique quais subconjuntos de R^3 são subespaços vetoriais.
W=(x, y, z) mid x in R

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (x,y,z)in R^3 mid xin R
é um subespaço vetorial de R^3.
Conteúdo: teste de subespaço via não-vazio, fechamento em soma e em multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0) pertence a W, pois sua primeira componente é 0inR. Logo, Wneqemptyset.

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) vetores em W. Então x1,x2inR. A sua soma é
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
Como x1+x2inR, temos u+vin W. Assim, W é fechado sob adição.

Passo 4

Se lambdainR e u=(x1,y1,z1)in W, então
lambda,u = (lambda x1,;lambda y1,;lambda z1)
Como lambda x1inR, segue lambda,uin W. Logo, W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

W é um subespaço vetorial de R^3.

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