Consideremos o operador linear T: R^2 R^2 onde T(x, y)=(x+2 y, x-y) e as bases A=(-1,1),(1,0), B=(2,-1),(-1,1) e C=(1,0),(0,1). Determine [T]A,[T]B e [T]C.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^2toR^2, T(x,y)=(x+2y,;x-y)
e as bases
A=(-1,1),(1,0), B=(2,-1),(-1,1), C=(1,0),(0,1)
Para achar a matriz de T em cada base, vamos usar o procedimento padrão: para cada vetor da base do domínio calculamos sua imagem por T e então expressamos esse vetor imagem como combinação linear dos vetores da base do contradomínio. As coordenadas resultantes formam as colunas da matriz representativa.

Passo 2

Cálculo de [T]C na base canônica C=e1,e2.
T(e1)=T(1,0)=(1,1), T(e2)=T(0,1)=(2,-1)
Como em base canônica as colunas são exatamente as imagens,
[T]C= 1 & 2 [6pt] 1 & -1 ]

Passo 3

Cálculo de [T]A na base
A=v1=(-1,1),,v2=(1,0).
1. T(v1)=T(-1,1)=(-1+2,,-1-1)=(1,-2)
Queremos (1,-2)=a,v1+b,v2=a(-1,1)+b(1,0).
Isso leva ao sistema
-a+b=1, a=-2
de onde a=-2, b=-1.
Logo a primeira coluna de [T]A é l(-2,,-1r)^T.
2. T(v2)=T(1,0)=(1,1)
Queremos (1,1)=a,v1+b,v2=a(-1,1)+b(1,0), isto é
-a+b=1, a=1
então a=1, b=2.
A segunda coluna de [T]A é l(1,2r)^T.
Assim
[T]A= -2 & 1 [4pt] -1 & 2 ]

Passo 4

Cálculo de [T]B na base
B=w1=(2,-1),,w2=(-1,1).
1. T(w1)=T(2,-1)=(2-2,;2+1)=(0,3)
Procuramos (0,3)=c,w1+d,w2=c(2,-1)+d(-1,1),
sistema
2c-d=0, -c+d=3
c=3, d=6.
Primeira coluna: l(3,6r)^T.
2. T(w2)=T(-1,1)=(1,-2).
Queremos (1,-2)=c(2,-1)+d(-1,1),
2c-d=1, -c+d=-2
leva a c=-1, d=-3.
Segunda coluna: l(-1,-3r)^T.
Logo
[T]B= 3 & -1 [4pt] 6 & -3 ]

Resposta

[T]C= 1 & 2 [4pt] 1 & -1 , [T]A= -2 & 1 [4pt] -1 & 2 , [T]B= 3 & -1 [4pt] 6 & -3 ]

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