Verifique quais subconjuntos de são subespaços vetoriais. e d=0
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto A=la & b c & din M2(R)mid c=a+b, d=0r
é um subespaço vetorial de M2(R). Para isso, vamos checar que (i) a matriz zero está em A, (ii) A é fechado sob soma e (iii) A é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se a matriz zero pertence a A. Basta tomar a=b=0. Então ,c=a+b=0 e d=0,
logo 0&00&0in A.
Note que (a1+b1)+(a2+b2)=(a1+a2)+(b1+b2), logo a soma satisfaz c=(a1+a2)+(b1+b2) e d=0. Portanto X+Yin A.
Passo 4
Fechamento sob escalar. Seja alphainR e
X=a & b c & din A,
com c=a+b e d=0. Então
alpha X =alpha a & alpha b alpha c & alphacdot 0 =alpha a & alpha b alpha(a+b) & 0 =alpha a & alpha b (alpha a)+(alpha b) & 0,
o que mostra que alpha X também satisfaz a condição c=a+b e d=0. Logo alpha Xin A.
Passo 5
Como A contém a matriz zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que A é subespaço vetorial de M2(R). Além disso, os graus de liberdade são a e b, de modo que dim A=2,
e uma base conveniente é
l1&01&0, 0&11&0r
Resposta
A é um subespaço vetorial de M2(R), tem dimensão 2 e, por exemplo,