Verifique quais subconjuntos de M2(R) são subespaços vetoriais.
A=[lla & b c & d] in M2(R) rvert, c=a+b e d=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto
A=la & b c & din M2(R)mid c=a+b, d=0r
é um subespaço vetorial de M2(R). Para isso, vamos checar que (i) a matriz zero está em A, (ii) A é fechado sob soma e (iii) A é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a matriz zero pertence a A. Basta tomar a=b=0. Então
,c=a+b=0 e d=0,
logo
0&00&0in A.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam
X=a1 & b1 c1 & d1in A, Y=a2 & b2 c2 & d2in A
Como ci=ai+bi e di=0 para i=1,2, temos
X+Y =a1+a2 & b1+b2 c1+c2 & 0+0 =a1+a2 & b1+b2 (a1+b1)+(a2+b2) & 0
Note que (a1+b1)+(a2+b2)=(a1+a2)+(b1+b2), logo a soma satisfaz c=(a1+a2)+(b1+b2) e d=0. Portanto X+Yin A.

Passo 4

Fechamento sob escalar. Seja alphainR e
X=a & b c & din A,
com c=a+b e d=0. Então
alpha X =alpha a & alpha b alpha c & alphacdot 0 =alpha a & alpha b alpha(a+b) & 0 =alpha a & alpha b (alpha a)+(alpha b) & 0,
o que mostra que alpha X também satisfaz a condição c=a+b e d=0. Logo alpha Xin A.

Passo 5

Como A contém a matriz zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que A é subespaço vetorial de M2(R). Além disso, os graus de liberdade são a e b, de modo que
dim A=2,
e uma base conveniente é
l1&01&0, 0&11&0r

Resposta

A é um subespaço vetorial de M2(R), tem dimensão 2 e, por exemplo,
,(1,0;1,0),,(0,1;1,0)
é uma base de A.

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