Sejam
alpha=(1,-1),(0,2) e beta=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0)
bases ordenadas de R^2 e R^3, respectivamente; e seja T: R^2 R^3 a transformação linear tal que
[T]beta^alpha=[rr 1 & 0 1 & 1 0 & -1 ]
Encontre T(x, y);

Passo 1

O enunciado dá as bases ordenadas
alpha=(1,-1),(0,2) de R^2 e
beta=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) de R^3,
e a matriz de T em relação a essas bases é
[T]beta^alpha = 1 & 0 1 & 1 0 & -1
Queremos encontrar T(x,y) em coordenadas canônicas. Para isso vamos (i) calcular T nos vetores de alpha e converter de coordenadas beta para canônicas, (ii) expressar (x,y) em coordenadas de alpha, (iii) usar linearidade e converter de beta para canônicas.

Passo 2

Denotando
b1=(1,0,-1), b2=(0,1,2), b3=(1,2,0),
as colunas de [T]beta^alpha são
[T(1,-1)]beta =110, [T(0,2)]beta =01-1
Logo
T(1,-1) =1,b1+1,b2+0,b3 =(1,1,1),
T(0,2) =0,b1+1,b2-1,b3 =(-1,-1,2)

Passo 3

Para um vetor genérico (x,y) escrevemos
(x,y)=a,(1,-1)+b,(0,2)
Isso dá o sistema
x=a, y=-a+2b,
logo
a=x, b=x+y2

Passo 4

Como
temos

Passo 5

Convertendo de beta para as coordenadas canônicas,
T(x,y) = x,b1 +3x+y2,b2 -x+y2,b3
Fazendo a soma de vetores:
x(1,0,-1) +3x+y2(0,1,2) -x+y2(1,2,0) =l(tfracx-y2,,tfracx-y2,,2x+yr)

Resposta

T(x,y)=l(tfracx-y2,,tfracx-y2,,2x+yr)

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