Considere a transformação linear T: R^3 longrightarrow R^2 onde T(1,0,0)=(2,1), T(2,-1,0)=(3,0) e T(0,1,1)=(0,2).
Determine T.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T:R^3toR^2 tal que
T(1,0,0)=(2,1),
T(2,-1,0)=(3,0) e
T(0,1,1)=(0,2).
Queremos achar a expressão de T(x,y,z) para vetores genéricos (x,y,z). Usaremos a linearidade de T e escrever vetores dados em função dos vetores canônicos
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).

Passo 2

Note que (2,-1,0)=2e1 - e2.
Pela linearidade,
T(2,-1,0)=T(2e1-e2)=2T(e1)-T(e2)
Como T(2,-1,0)=(3,0) e T(e1)=T(1,0,0)=(2,1), vem
2,(2,1)-T(e2)=(3,0) Longrightarrow (4,2)-T(e2)=(3,0) Longrightarrow T(e2)=(1,2)

Passo 3

Observe que (0,1,1)=e2+e3.
Logo
T(0,1,1)=T(e2+e3)=T(e2)+T(e3)
Como T(0,1,1)=(0,2) e já achamos T(e2)=(1,2), segue
(1,2)+T(e3)=(0,2) Longrightarrow T(e3)=(-1,0)

Passo 4

Para um vetor genérico (x,y,z)inR^3 escrevemos
T(x,y,z) =x,T(e1)+y,T(e2)+z,T(e3) =x,(2,1)+y,(1,2)+z,(-1,0)
Fazendo a soma coordenada a coordenada, obtemos
T(x,y,z)=(2x+y-z,;x+2y)

Resposta

T(x,y,z)=(2x+y-z,;x+2y)

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