Seja T: R^3 R^3 o operador linear dado por
T(x, y, z)=(x+2 z,-x+z, x+y+2 z)
Verifique que o operador T é diagonalizável e determine uma matriz diagonal D e uma matriz P tais que A=P D P^-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador linear T: R^3to R^3 definido por
T(x,y,z) = (x+2z,,-x+z,;x+y+2z)
é diagonalizável e encontrar matrizes P e D tais que
A = P,D,P^-1,
onde A é a matriz de T na base canônica, D é diagonal e P tem como colunas vetores próprios de A. Para isso vamos calcular os autovalores de A (resolvendo o polinômio característico) e em seguida os autovetores correspondentes.

Passo 2

Vamos escrever a matriz A de T na base canônica. Basta aplicar T aos vetores e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1):
T(e1) = (1,-1,1), T(e2) = (0,0,1), T(e3) = (2,1,2)
Logo,
A = 1 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 2

Passo 3

Vamos achar o polinômio característico chiA(lambda)=det(A - lambda I).
A - lambda I = 1-lambda & 0 & 2 -1 & -lambda & 1 1 & 1 & 2-lambda
Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
chiA(lambda) = (1-lambda)l(-lambda(2-lambda)-1r) +2l((-1)cdot1 -(-lambda)cdot1r)
Fazendo as contas chega-se a
chiA(lambda) = -(lambda-1)(lambda-3)(lambda+1)
Os autovalores são, portanto,
lambda1 = 1, lambda2 = 3, lambda3 = -1,
todos distintos, então A é diagonalizável.

Passo 4

Para lambda1 = 1 resolvemos (A - I),v=0:
A - I = 0 & 0 & 2 -1 & -1 & 1 1 & 1 & 1
As equações dão 2z=0 e -x - y = 0, logo z=0 e y=-x. Um autovetor é
v1 = (1,-1,0)^T

Passo 5

Para lambda2 = 3 resolvemos (A - 3I),v=0:
A - 3I = -2 & 0 & 2 -1 & -3 & 1 1 & 1 & -1
Dessa forma z = x e y=0. Um autovetor é
v2 = (1,0,1)^T

Passo 6

Para lambda3 = -1 resolvemos (A + I),v=0:
A + I = 2 & 0 & 2 -1 & 1 & 1 1 & 1 & 3
Obtemos z=-x e y=2x. Um autovetor é
v3 = (1,2,-1)^T

Passo 7

Como os três autovalores são distintos, escolhemos a matriz P cujas colunas são ,v1,v2,v3 e a matriz D com esses autovalores na diagonal:
P = 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 , D = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1
Então de fato
A = P,D,P^-1,
mostrando que T é diagonalizável.

Resposta

P = 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 , D = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 ,
com A = P,D,P^-1.

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