Verifique que o operador é diagonalizável e determine uma matriz diagonal e uma matriz tais que .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador linear definido por
é diagonalizável e encontrar matrizes e tais que
onde é a matriz de na base canônica, é diagonal e tem como colunas vetores próprios de . Para isso vamos calcular os autovalores de (resolvendo o polinômio característico) e em seguida os autovetores correspondentes.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de na base canônica. Basta aplicar aos vetores , , :
Logo,
Passo 3
Vamos achar o polinômio característico chiA(lambda)=det(A - lambda I).
A - lambda I = 1-lambda & 0 & 2 -1 & -lambda & 1 1 & 1 & 2-lambda
Calculando o determinante por expansão na primeira linha: