Considere
.
a) Mostre que W é um subespaço vetorial de
relativamente às operaçōes de soma e produto por escalar usuais.
b) Determine uma base de W e sua dimensão.
a) Mostre que W é um subespaço vetorial de
b) Determine uma base de W e sua dimensão.
Passo 1
O enunciado define
.
O conteúdo é espaço vetorial, e precisamos verificar que é subespaço de
(fechamento em soma e produto escalar) e depois encontrar uma base e a dimensão de
.
O conteúdo é espaço vetorial, e precisamos verificar que
Passo 2
Mostramos que
não é vazio e contém o vetor zero.
Como satisfaz
Como
temos
, logo
.
Passo 3
Verificamos o fechamento em adição.
Sejam e
em
. Então
Sejam
Para
, temos
logo
.
Passo 4
Verificamos o fechamento em multiplicação por escalar.
Para e
com
, o vetor
satisfaz
Para
logo
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero e é fechado em soma e produto escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.
Passo 6
Para achar uma base, resolvemos a equação
Logo todo
pode ser escrito como
Assim
gera
.
Passo 7
Verificamos que esses três vetores são linearmente independentes, pois a única combinação
impõe
. Logo eles formam uma base de
e
.
Resposta
Uma base de
é
e
.