Considere W=(x, y, z, t) ; x-2 y+z=0 in R^4.
a) Mostre que W é um subespaço vetorial de R^4 relativamente às operaçōes de soma e produto por escalar usuais.
b) Determine uma base de W e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado define
W=(x,y,z,t)inR^4 mid x-2y+z=0.
O conteúdo é espaço vetorial, e precisamos verificar que W é subespaço de R^4 (fechamento em soma e produto escalar) e depois encontrar uma base e a dimensão de W.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio e contém o vetor zero.
Como (0,0,0,0) satisfaz
0 - 2cdot 0 + 0 = 0,
temos (0,0,0,0)in W, logo Wneqvarnothing.

Passo 3

Verificamos o fechamento em adição.
Sejam u=(x1,y1,z1,t1) e v=(x2,y2,z2,t2) em W. Então
x1-2y1+z1=0 e x2-2y2+z2=0
Para u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;t1+t2), temos
(x1+x2)-2(y1+y2)+(z1+z2) =(x1-2y1+z1)+(x2-2y2+z2) =0+0=0,
logo u+vin W.

Passo 4

Verificamos o fechamento em multiplicação por escalar.
Para lambdainR e u=(x,y,z,t)in W com x-2y+z=0, o vetor lambdau=(lambda x,lambda y,lambda z,lambda t) satisfaz
lambda x - 2(lambda y) + lambda z =lambda,(x - 2y + z) =lambdacdot 0=0,
logo lambdauin W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero e é fechado em soma e produto escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de R^4.

Passo 6

Para achar uma base, resolvemos a equação
x-2y+z=0 Longrightarrow x=2y - z
Logo todo (x,y,z,t)in W pode ser escrito como
(x,y,z,t) =(2y - z,;y,;z,;t) =y,(2,1,0,0)+z,(-1,0,1,0)+t,(0,0,0,1)
Assim (2,1,0,0),,(-1,0,1,0),,(0,0,0,1) gera W.

Passo 7

Verificamos que esses três vetores são linearmente independentes, pois a única combinação
a,(2,1,0,0)+b,(-1,0,1,0)+c,(0,0,0,1)=(0,0,0,0)
impõe a=b=c=0. Logo eles formam uma base de W e dim W=3.

Resposta

Uma base de W é
(2,1,0,0),,(-1,0,1,0),,(0,0,0,1),
e dim W=3.

Exercícios relacionados