Mostre que, no plano, a equação da reta r (na forma reduzida) contendo A=(x0, y0) perpendicular a n=(a, b) é:
a x+b y=d,
onde d=a x0+b y0.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta r que passa por um ponto A=(x0,y0) e é perpendicular ao vetor normal n=(a,b). O conteúdo usado aqui é o produto escalar: dois vetores são perpendiculares se e somente se seu produto escalar é zero.

Passo 2

Seja P=(x,y) um ponto qualquer sobre a reta r. Então o vetor AP é dado por
AP = (x - x0,,y - y0)
Como a reta é perpendicular a n=(a,b), devemos ter
ncdotAP = 0
Pelo cálculo do produto escalar isso dá
a,(x - x0) + b,(y - y0) = 0

Passo 3

Basta agora expandir e rearranjar termos:
a,x - a,x0 + b,y - b,y0 = 0 Longrightarrow a,x + b,y = a,x0 + b,y0
Se definirmos
d = a,x0 + b,y0,
obtemos a forma reduzida da reta:

Resposta

a,x + b,y = d, com d = a,x0 + b,y0

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