Considere a transformação linear T: R^3 longrightarrow R^2 onde T(1,0,0)=(2,1), T(2,-1,0)=(3,0) e T(0,1,1)=(0,2).
Determine o N(T) e a dimensão da im(T).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^3toR^2 e informa
T(1,0,0)=(2,1), T(2,-1,0)=(3,0), T(0,1,1)=(0,2)
Queremos encontrar o núcleo N(T) e a dimensão da imagem im(T). Vamos usar um passo-a-passo: primeiro expressar T nos vetores da base padrão, depois achar as equações que definem o núcleo e finalmente aplicar o Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 2

Expressamos os vetores dados em função da base canônica e1,e2,e3:
(2,-1,0)=2e1-e2 e (0,1,1)=e2+e3.
Como T é linear, escrevemos
T(2e1-e2)=2T(e1)-T(e2)=(3,0),
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2,(2,1)-T(e2)=(3,0)implies T(e2)=(4,2)-(3,0)=(1,2)
Em seguida
T(e2+e3)=T(e2)+T(e3)=(0,2),
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(1,2)+T(e3)=(0,2)implies T(e3)=(-1,0)

Passo 3

Agora temos
Montamos a matriz de
Para achar , resolvemos , ou seja
Da segunda equação (x_1=-2x_2]. Substituindo na primeira:

Logo

e

Passo 4

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos
dim(N(T))+dim(im(T))=dim(R^3)=3
Como dim(N(T))=1, segue
dim(im(T))=3-1=2

Resposta

N(T)=span(-2,1,-3) dim(im(T))=2

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