Considere a transformação linear
onde
e
.
Determine o
e a dimensão da
.
Determine o
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e informa
Queremos encontrar o núcleo
e a dimensão da imagem
. Vamos usar um passo-a-passo: primeiro expressar
nos vetores da base padrão, depois achar as equações que definem o núcleo e finalmente aplicar o Teorema do Núcleo e Imagem.
Passo 2
Expressamos os vetores dados em função da base canônica
:
e
.
Como é linear, escrevemos
Como
logo
Em seguida
logo
Passo 3
Agora temos
Montamos a matriz de
Para achar
, resolvemos
, ou seja
Da segunda equação (x_1=-2x_2]. Substituindo na primeira:
Logo
e
Logo
e
Passo 4
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos
Como
, segue