Determine os autovalores e uma base para os auto espaços correspondentes (autovetores associados). Verifique se o operador é diagonalizável e, caso seja, determine sua representação diagonal, ou seja, a matriz diagonal que representa o operador e a base de autovetores correspondentes (a matriz ).
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear
e pede:
Autovalores de .
Bases dos autespaços correspondentes.
Verificar se é diagonalizável.
Em caso afirmativo, encontrar a matriz diagonal e a matriz de passagem cujas colunas são os autovetores.
Passo 2
Em coordenadas canônicas, a matriz de é
Para o polinômio característico, montamos
A - lambda I = -1-lambda & -4 & 14 2 & -7-lambda & 14 2 & -4 & 11-lambda
e calculamos o determinante por expansão de Laplace. O resultado fatorado é
det(A - lambda I) = -(lambda - 9),(lambda + 3)^2
Passo 3
As raízes de det(A-lambda I)=0 dão os autovalores:
lambda1 = 9, lambda2 = lambda3 = -3
Passo 4
Para resolvemos :
Logo um gerador do autoespaço é , e
Passo 5
Para resolvemos :
Fazendo e achamos vetores independentes e . Assim
tem dimensão .
Passo 6
Como a soma das dimensões dos autespaços é 1+2=3, T é diagonalizável.
Escolhendo como colunas de P os autovetores na ordem (1,1,1), (2,1,0), (-7,0,1), temos