Seja T: R^3 R^3 o operador linear dado por
T(x, y, z)=(-x-4 y+14 z, 2 x-7 y+14 z, 2 x-4 y+11 z)
Determine os autovalores e uma base para os auto espaços correspondentes (autovetores associados). Verifique se o operador T é diagonalizável e, caso seja, determine sua representação diagonal, ou seja, a matriz diagonal D que representa o operador T e a base de autovetores correspondentes (a matriz P ).

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z)=(-x-4y+14z,;2x-7y+14z,;2x-4y+11z),
e pede:
  1. Autovalores de T.
  2. Bases dos autespaços correspondentes.
  3. Verificar se T é diagonalizável.
  4. Em caso afirmativo, encontrar a matriz diagonal D e a matriz de passagem P cujas colunas são os autovetores.

Passo 2

Em coordenadas canônicas, a matriz de T é
A = -1 & -4 & 14 2 & -7 & 14 2 & -4 & 11
Para o polinômio característico, montamos
A - lambda I = -1-lambda & -4 & 14 2 & -7-lambda & 14 2 & -4 & 11-lambda
e calculamos o determinante por expansão de Laplace. O resultado fatorado é
det(A - lambda I) = -(lambda - 9),(lambda + 3)^2

Passo 3

As raízes de det(A-lambda I)=0 dão os autovalores:
lambda1 = 9, lambda2 = lambda3 = -3

Passo 4

Para resolvemos :
Logo um gerador do autoespaço é , e

Passo 5

Para resolvemos :
Fazendo e achamos vetores independentes
e . Assim
tem dimensão .

Passo 6

Como a soma das dimensões dos autespaços é 1+2=3, T é diagonalizável.
Escolhendo como colunas de P os autovetores na ordem (1,1,1), (2,1,0), (-7,0,1), temos
P = 1 & 2 & -7 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , D = P^-1AP = 9 & 0 & 0 0 & -3 & 0 0 & 0 & -3

Resposta

Autovalores e autespaços:
, com .
, com .
é diagonalizável.
Matriz diagonal
e matriz de passagem
cuja ordem de colunas é a mesma dos autovetores acima.

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