Considere a transformação linear T: R^3 longrightarrow R^2 onde T(1,0,0)=(2,1), T(2,-1,0)=(3,0) e T(0,1,1)=(0,2).
T é injetora? E sobrejetora?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^3toR^2 definida pelos valores em três vetores do domínio:
v1=(1,0,0), v2=(2,-1,0), v3=(0,1,1),
com
T(v1)=(2,1), T(v2)=(3,0), T(v3)=(0,2)
Queremos saber se T é injetora (kernel trivial) e se é sobrejetora (imagem igual a R^2). Para isso, vamos verificar se v1,v2,v3 é base de R^3 e qual é a dimensão da imagem de T em R^2.

Passo 2

Verificamos que v1,v2,v3 é base de R^3. Basta montar a matriz cujas colunas são v1,v2,v3:
M = 1 & 2 & 0 0 & -1 & 1 0 & 0 & 1
O determinante de M é
det(M)=1cdot(-1)cdot1=-1neq0,
logo os vi são linearmente independentes e formam base de R^3.

Passo 3

Os vetores imagem em R^2 são
w1=T(v1)=(2,1), w2=T(v2)=(3,0), w3=T(v3)=(0,2)
Bastam w1 e w2 para gerar R^2, pois não são múltiplos um do outro. Logo
diml(Im,Tr)=2

Passo 4

Pela fórmula de posto e nulidade em espaços finito-dimensionais,
dim(ker T)+dim(Im,T)=dim(R^3)=3
Como dim(Im,T)=2, segue dim(ker T)=1, ou seja, o núcleo não é trivial e T não é injetora. Mas dim(Im,T)=2=dim(R^2) implica que Im,T=R^2, ou seja, T é sobrejetora.

Resposta

T não é injetora e é sobrejetora.

Exercícios relacionados