Considere a transformação linear onde e . é injetora? E sobrejetora?
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear definida pelos valores em três vetores do domínio:
com
Queremos saber se é injetora (kernel trivial) e se é sobrejetora (imagem igual a ). Para isso, vamos verificar se é base de e qual é a dimensão da imagem de em .
Passo 2
Verificamos que é base de . Basta montar a matriz cujas colunas são :
O determinante de M é
det(M)=1cdot(-1)cdot1=-1neq0,
logo os vi são linearmente independentes e formam base de R^3.
Passo 3
Os vetores imagem em R^2 são
w1=T(v1)=(2,1), w2=T(v2)=(3,0), w3=T(v3)=(0,2)
Bastam w1 e w2 para gerar R^2, pois não são múltiplos um do outro. Logo
diml(Im,Tr)=2
Passo 4
Pela fórmula de posto e nulidade em espaços finito-dimensionais,
dim(ker T)+dim(Im,T)=dim(R^3)=3
Como dim(Im,T)=2, segue dim(ker T)=1, ou seja, o núcleo não é trivial e T não é injetora. Mas dim(Im,T)=2=dim(R^2) implica que Im,T=R^2, ou seja, T é sobrejetora.