Considere T: R^3 R^3 a transformação linear que projeta o vetor u em v=(1,-1,3).
Determine um base para núcleo de T .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma transformação linear T: R^3 R^3 que projeta um vetor u no vetor v = (1, -1, 3) . Nosso objetivo aqui é determinar uma base para o núcleo dessa transformação T . Para isso, vamos precisar entender conceitos de projeção de vetores e o que é o núcleo de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa projetar um vetor u no vetor v . A projeção de u em v é dada pela fórmula:
projv u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v representa o produto escalar entre u e v , e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo, que basicamente calcula o quadrado do comprimento de v .

Passo 3

O núcleo da transformação T , denotado por Ker(T) , é o conjunto de todos os vetores u em R^3 que são mapeados para o vetor zero por T . Ou seja:
Ker(T) = u in R^3 | T(u) = 0
No nosso caso, T(u) é a projeção de u em v , então queremos encontrar todos os u tais que:
( u cdot vv cdot v ) v = 0

Passo 4

Para que essa equação seja verdadeira, o fator que multiplica v deve ser zero, já que v não é o vetor zero. Portanto, temos:
u cdot vv cdot v = 0
Multiplicando ambos os lados por v cdot v (que é diferente de zero), chegamos a:
u cdot v = 0
Isso significa que o vetor u deve ser ortogonal a v .

Passo 5

Então, o núcleo de T é o conjunto de todos os vetores em R^3 que são ortogonais a v = (1, -1, 3) . Geometricamente, isso representa um plano passando pela origem no espaço tridimensional.

Passo 6

Para encontrar uma base para esse núcleo, precisamos encontrar dois vetores que sejam ortogonais a v e que sejam linearmente independentes. Vamos chamar esses vetores de w1 e w2 .

Passo 7

Vamos buscar soluções para a equação u cdot v = 0 :
(1, -1, 3) cdot (u1, u2, u3) = 0 1 cdot u1 + (-1) cdot u2 + 3 cdot u3 = 0 u1 - u2 + 3u3 = 0
Podemos expressar u1 em termos de u2 e u3 :
u1 = u2 - 3u3

Passo 8

Agora, vamos escolher valores para u2 e u3 para encontrar dois vetores independentes.
Primeira escolha:
  • u2 = 1
  • u3 = 0
    Então,
u1 = 1 - 0 = 1 w1 = (1, 1, 0)
Segunda escolha:
  • u2 = 0
  • u3 = 1
    Então,
u1 = 0 - 3 cdot 1 = -3 w2 = (-3, 0, 1)

Passo 9

Verificamos se esses vetores realmente pertencem ao núcleo:
  • Para w1 = (1, 1, 0) :
1 cdot 1 + (-1) cdot 1 + 3 cdot 0 = 1 - 1 + 0 = 0
  • Para w2 = (-3, 0, 1) :
1 cdot (-3) + (-1) cdot 0 + 3 cdot 1 = -3 + 0 + 3 = 0
Ambos satisfazem a condição u cdot v = 0 .

Passo 10

Além disso, w1 e w2 são linearmente independentes, já que nenhum deles é múltiplo do outro. Portanto, eles formam uma base para o núcleo de T .

Resposta

Uma base para o núcleo de T é formada pelos vetores , (1, 1, 0), (-3, 0, 1) , .

Exercícios relacionados