Considere
a transformação linear que projeta o vetor
em
.
Determine um base para núcleo de T .
Determine um base para núcleo de T .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma transformação linear
que projeta um vetor
no vetor
. Nosso objetivo aqui é determinar uma base para o núcleo dessa transformação
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de projeção de vetores e o que é o núcleo de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa projetar um vetor
no vetor
. A projeção de
em
é dada pela fórmula:
Aqui,
representa o produto escalar entre
e
, e
é o produto escalar de
consigo mesmo, que basicamente calcula o quadrado do comprimento de
.
Passo 3
O núcleo da transformação
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero por
. Ou seja:
No nosso caso,
é a projeção de
em
, então queremos encontrar todos os
tais que:
Passo 4
Para que essa equação seja verdadeira, o fator que multiplica
deve ser zero, já que
não é o vetor zero. Portanto, temos:
Multiplicando ambos os lados por
(que é diferente de zero), chegamos a:
Isso significa que o vetor
deve ser ortogonal a
.
Passo 5
Então, o núcleo de
é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a
. Geometricamente, isso representa um plano passando pela origem no espaço tridimensional.
Passo 6
Para encontrar uma base para esse núcleo, precisamos encontrar dois vetores que sejam ortogonais a
e que sejam linearmente independentes. Vamos chamar esses vetores de
e
.
Passo 7
Vamos buscar soluções para a equação
:
Podemos expressar
em termos de
e
:
Passo 8
Agora, vamos escolher valores para
e
para encontrar dois vetores independentes.
Primeira escolha:
-
-
Então,
Segunda escolha:
-
-
Então,
Passo 9
Verificamos se esses vetores realmente pertencem ao núcleo:
- Para
:
- Para
:
Ambos satisfazem a condição
.
Passo 10
Além disso,
e
são linearmente independentes, já que nenhum deles é múltiplo do outro. Portanto, eles formam uma base para o núcleo de
.
Resposta
Uma base para o núcleo de
é formada pelos vetores
.