Determine as matrizes das composições de transformações lineares T=T2 circ T1 e T^prime=T1 circ T2 em relação a base canônica.
T1(x, y, z)=(x, y, z) e T2(x, y, z)=(0, x, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir as matrizes das composições das transformações lineares T = T2 circ T1 e T' = T1 circ T2 usando a base canônica. Isso envolve entender como combinar duas transformações lineares e representá-las em forma de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como representar cada transformação linear individualmente e depois multiplicar as matrizes correspondentes para encontrar as composições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada transformação linear separadamente. A transformação T1(x, y, z) = (x, y, z) é a transformação identidade, ou seja, ela não altera o vetor. A matriz dessa transformação na base canônica é a própria matriz identidade 3x3:
[T1] = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Agora, vamos analisar a transformação T2(x, y, z) = (0, x, 0) . Isso significa que o primeiro e o terceiro componentes do vetor resultante são 0, e o segundo componente é o primeiro componente do vetor de entrada. Para encontrar a matriz dessa transformação na base canônica, vemos como ela age nos vetores da base:
T2(1, 0, 0) = (0, 1, 0) T2(0, 1, 0) = (0, 0, 0) T2(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
Então, a matriz de T2 é:
[T2] = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 4

Agora que temos as matrizes de T1 e T2 , vamos encontrar a matriz da composição T = T2 circ T1 . A composição de duas transformações lineares corresponde à multiplicação das matrizes na ordem inversa:
[T] = [T2] times [T1]
Como [T1] é a matriz identidade, a multiplicação simplifica:
[T] = [T2] times I = [T2]
Portanto, [T] = [T2] :
[T] = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz da composição T' = T1 circ T2 . Novamente, usamos a multiplicação de matrizes:
[T'] = [T1] times [T2]
Como [T1] é a matriz identidade, a multiplicação também simplifica:
[T'] = I times [T2] = [T2]
Então, [T'] = [T2] :
[T'] = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Resposta

As matrizes das composições são ambas iguais a:
0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0

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