Determine as matrizes das composições de transformações lineares T=T2 circ T1 e T^prime=T1 circ T2 em relação a base canônica.
T1(x, y)=(x-2 y, 2 x+3 y) e T2(x, y)=(y, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A gente precisa descobrir as matrizes das composições das transformações T = T2 circ T1 e T' = T1 circ T2 em relação à base canônica. Para isso, vamos trabalhar com as transformações dadas:
T1(x, y) = (x - 2y, 2x + 3y)
T2(x, y) = (y, 0)
Vamos precisar entender como compor essas transformações e representar tudo em matrizes usando a base canônica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as matrizes das transformações T1 e T2 individualmente na base canônica. A base canônica no R^2 é formada pelos vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) .
Para achar a matriz de T1 , aplicamos T1 a cada vetor da base:
T1(e1) = T1(1, 0) = (1 - 2 cdot 0, 2 cdot 1 + 3 cdot 0) = (1, 2)
T1(e2) = T1(0, 1) = (0 - 2 cdot 1, 2 cdot 0 + 3 cdot 1) = (-2, 3)
Assim, a matriz de T1 é:
[T1] = 1 & -2 2 & 3
Agora, fazemos o mesmo para T2 :
T2(e1) = T2(1, 0) = (0, 0)
T2(e2) = T2(0, 1) = (1, 0)
Então, a matriz de T2 é:
[T2] = 0 & 1 0 & 0

Passo 3

Agora que temos as matrizes de T1 e T2 , vamos compor as transformações para encontrar T = T2 circ T1 e T' = T1 circ T2 .
A composição de transformações corresponde à multiplicação das matrizes na ordem das operações. Ou seja:
[T] = [T2] cdot [T1]
[T'] = [T1] cdot [T2]
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular [T] = [T2] cdot [T1] :
[T2] = 0 & 1 0 & 0
[T1] = 1 & -2 2 & 3
Multiplicando as matrizes:
[T] = 0 cdot 1 + 1 cdot 2 & 0 cdot (-2) + 1 cdot 3 0 cdot 1 + 0 cdot 2 & 0 cdot (-2) + 0 cdot 3 = 2 & 3 0 & 0

Passo 5

Agora, vamos calcular [T'] = [T1] cdot [T2] :
[T1] = 1 & -2 2 & 3
[T2] = 0 & 1 0 & 0
Multiplicando as matrizes:
[T'] = 1 cdot 0 + (-2) cdot 0 & 1 cdot 1 + (-2) cdot 0 2 cdot 0 + 3 cdot 0 & 2 cdot 1 + 3 cdot 0 = 0 & 1 0 & 2

Resposta

As matrizes das composições de transformações lineares são:
[T] = 2 & 3 0 & 0
[T'] = 0 & 1 0 & 2

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