Quais espaços vetoriais abaixo são isomorfos à
? Justifique sua resposta construindo um isomorfismo ou explicando a impossibilidade.
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais dos espaços vetoriais listados são isomorfos a
. Aqui temos apenas o espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de coeficientes reais e grau máximo 5. Para resolver, vamos usar o conceito de isomorfismo de espaços vetoriais e a noção de dimensão em espaços de dimensão finita.
Passo 2
Dois espaços vetoriais reais de dimensão finita são isomorfos se, e somente se, tiverem a mesma dimensão. Equivalente a isso, existe um mapeamento linear bijetivo entre eles.
Passo 3
A dimensão de
é 6, pois sua base canônica tem 6 vetores.
A dimensão de também é 6, pois uma base é dada pelos monômios
A dimensão de
Como ambas dimensões coincidem, concluímos que
é isomorfo a
.
Passo 4
Para construir explicitamente o isomorfismo, defina
– Linearidade: para
e
,
– Bijetividade: cada tupla
tem um único polinôme preimagem, e
implica todos
, logo
.