Quais espaços vetoriais abaixo são isomorfos à R^6 ? Justifique sua resposta construindo um isomorfismo ou explicando a impossibilidade.
P5

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais dos espaços vetoriais listados são isomorfos a R^6. Aqui temos apenas o espaço P5, que é o conjunto de todos os polinômios de coeficientes reais e grau máximo 5. Para resolver, vamos usar o conceito de isomorfismo de espaços vetoriais e a noção de dimensão em espaços de dimensão finita.

Passo 2

Dois espaços vetoriais reais de dimensão finita são isomorfos se, e somente se, tiverem a mesma dimensão. Equivalente a isso, existe um mapeamento linear bijetivo entre eles.

Passo 3

A dimensão de R^6 é 6, pois sua base canônica tem 6 vetores.
A dimensão de P5 também é 6, pois uma base é dada pelos monômios
1,,x,,x^2,,x^3,,x^4,,x^5
Como ambas dimensões coincidem, concluímos que P5 é isomorfo a R^6.

Passo 4

Para construir explicitamente o isomorfismo, defina
T: P5 longrightarrow R^6, Tl(a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + a5 x^5r) = (a0,,a1,,a2,,a3,,a4,,a5)
– Linearidade: para p,qin P5 e cinR,
T(p+q)=T(p)+T(q), T(c,p)=c,T(p)
– Bijetividade: cada tupla (a0,dots,a5) tem um único polinôme preimagem, e T(p)=0 implica todos ai=0, logo p=0.

Resposta

P5 é isomorfo a R^6 via o mapeamento
Tl(a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + a5 x^5r) = (a0,,a1,,a2,,a3,,a4,,a5)

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