Considere a transformação linear A: R^2 R^2 definida por A(x, y)= (4 x+3 y, x+2 y).
Encontre uma base B de R^2 tal que [A]B^B é uma matriz diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base de tal que a matriz da transformação nessa base, ou seja, , seja uma matriz diagonal. Isso envolve conceitos de transformações lineares, bases, e principalmente a diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, para diagonalizar a matriz da transformação, precisamos encontrar os autovalores (ou valores próprios) de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são soluções da equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a matriz de A = 4 & 3 1 & 2 :
det( 4 - lambda & 3 1 & 2 - lambda ) = (4 - lambda)(2 - lambda) - 3 cdot 1 = lambda^2 - 6lambda + 5 = 0
Agora, subtraímos lambda^2 - 6lambda + 5 = 0 Rightarrow lambda = 6 pm raiz36 - 202 = 6 pm raiz162 = 6 pm 42 na diagonal principal e calculamos o determinante:
lambda1 = 5 e lambda2 = 1
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada 4 - 5 & 3 1 & 2 - 5 v1 v2 = -1 & 3 1 & -3 v1 v2 = 0 0 .
Para - v1 + 3v2 = 0 v1 - 3v2 = 0 :
Resolvemos v^(1) = 3 1 :

[
4 - 1 & 3 1 & 2 - 1 v1 v2 = 3 & 3 1 & 1 v1 v2 = 0 0
3v1 + 3v2 = 0 v1 + v2 = 0

v^(2) = -1 1


]
Das equações:
Ambas as equações levam a . Então, um autovetor associado a é:
Para :
Resolvemos :

[



]
Das equações:
Vamos resolver . Então, um autovetor associado a é:

Passo 5

Agora que temos os dois autovetores B = 3 1 , -1 1 e , podemos formar a base desejada:
Essa base faz com que a matriz seja diagonal, com os autovalores na diagonal principal.

Resposta

Uma base B = 3 1 , -1 1 que diagonaliza é:

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