Considere a transformação linear
definida por
.
Encontre uma base
de
tal que
é uma matriz diagonal.
Encontre uma base
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo é encontrar uma base
de
tal que a matriz da transformação
nessa base, ou seja,
, seja uma matriz diagonal. Isso envolve conceitos de transformações lineares, bases, e principalmente a diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, para diagonalizar a matriz da transformação, precisamos encontrar os autovalores (ou valores próprios) de
. Os autovalores são soluções da equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Vamos montar a matriz de
:
Agora, subtraímos
na diagonal principal e calculamos o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Das equações:
Ambas as equações levam a
. Então, um autovetor associado a
é:
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Das equações:
Vamos resolver
. Então, um autovetor associado a
é:
Passo 5
Agora que temos os dois autovetores
e
, podemos formar a base
desejada:
Essa base faz com que a matriz
seja diagonal, com os autovalores na diagonal principal.
Resposta
Uma base
que diagonaliza
é: