Seja
uma transformação linear. Dizemos que um subespaço vetorial
é invariante por
se
. Mostre que um subespaço de
de dimensão 1 é invariante por
se, e somente se, existe
tal que
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
e um subespaço vetorial
de dimensão 1. Queremos mostrar que
é invariante por
se e somente se existe um número real
tal que, para todo vetor
em
,
.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de transformação linear, subespaço vetorial, e invariância de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um subespaço ser invariante por uma transformação linear. Dizemos que
é invariante por
se, ao aplicar
em qualquer vetor de
, o resultado ainda está dentro de
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, como
é um subespaço de dimensão 1, ele é gerado por um único vetor não nulo. Vamos escolher um vetor não nulo
tal que todo vetor em
pode ser escrito como
vezes um escalar real. Ou seja,
.
Passo 4
Suponha que
seja invariante por
. Então, aplicando
em
, temos que
também está em
. Como
é gerado por
, existe um escalar
tal que:
Como
é linear, para qualquer vetor
:
Portanto, para todo
,
.
Passo 5
Agora, vamos fazer o caminho inverso. Suponha que existe um escalar
tal que, para todo
,
.
Queremos mostrar que
é invariante por
. Seja
. Então:
Como
ainda está em
(porque
é fechado em relação à multiplicação por escalar), concluímos que
. Portanto,
, ou seja,
é invariante por
.
Resposta
Concluímos que um subespaço de dimensão 1
é invariante por uma transformação linear
se e somente se existe um escalar
tal que
para todo
.