Seja A: E E uma transformação linear. Dizemos que um subespaço vetorial F subset E é invariante por A se A(F) subset F. Mostre que um subespaço de E de dimensão 1 é invariante por A se, e somente se, existe lambda in R tal que A(v)=lambda v forall v in F.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear e um subespaço vetorial de dimensão 1. Queremos mostrar que é invariante por se e somente se existe um número real tal que, para todo vetor em , .
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de transformação linear, subespaço vetorial, e invariância de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um subespaço ser invariante por uma transformação linear. Dizemos que é invariante por se, ao aplicar em qualquer vetor de , o resultado ainda está dentro de . Ou seja, .

Passo 3

Agora, como é um subespaço de dimensão 1, ele é gerado por um único vetor não nulo. Vamos escolher um vetor não nulo tal que todo vetor em pode ser escrito como vezes um escalar real. Ou seja, .

Passo 4

Suponha que A(v) = lambda v seja invariante por A(alpha v) = alpha A(v) = alpha lambda v = lambda (alpha v) . Então, aplicando em , temos que também está em . Como é gerado por , existe um escalar tal que:
Como é linear, para qualquer vetor :
Portanto, para todo , .

Passo 5

Agora, vamos fazer o caminho inverso. Suponha que existe um escalar A(v) = lambda v tal que, para todo , .
Queremos mostrar que é invariante por . Seja . Então:
Como ainda está em (porque é fechado em relação à multiplicação por escalar), concluímos que . Portanto, , ou seja, é invariante por .

Resposta

Concluímos que um subespaço de dimensão 1 é invariante por uma transformação linear se e somente se existe um escalar tal que para todo .

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