Determine a área da superficie
O pedaço do parabolóide eliptico z+2 x^2+3 y^2=10 que esta acima do círculo x^2+y^2=2.

Passo 1

O enunciado pede a área do pedaço de paraboloide elíptico dado por
z + 2x^2 + 3y^2 = 10
que está acima do disco
x^2 + y^2 <= 2
O conteúdo envolve cálculo de área de superfície de uma função z=f(x,y). Para resolver, vamos usar a fórmula
A = integral duplaDraiz1 + l(fx(x,y)r)^2 + l(fy(x,y)r)^2;dA,
onde D é a projeção no plano xy.

Passo 2

Expressamos z como função de x,y:
z = f(x,y) = 10 - 2x^2 - 3y^2
Calculamos as derivadas parciais:
fx(x,y) = partialpartial x(10 - 2x^2 - 3y^2) = -4x,
fy(x,y) = partialpartial y(10 - 2x^2 - 3y^2) = -6y
Logo o integrando fica
raiz1 + (-4x)^2 + (-6y)^2 = raiz1 + 16x^2 + 36y^2

Passo 3

O domínio de projeção D é o disco x^2+y^2<=2. Passamos a coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta, 0 <= r <= raiz2,;0<=theta<=2pi
Em polares temos dA = r,dr,dtheta e
16x^2 + 36y^2 = 16r^2cos^2theta + 36r^2sin^2theta = r^2l(16cos^2theta + 36sin^2thetar)

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula de área obtemos
A = integral0^2pi!integral0^raiz2 raiz1 + r^2l(16cos^2theta +36sin^2thetar);r,dr,dtheta

Resposta

A ;=; integral0^2pi!integral0^raiz2 raiz1 + 16r^2cos^2theta +36r^2sin^2theta;r,dr,dtheta

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